第11章 Logistic回归

1. 概述与适用场景

回归分析的分类

根据因变量 (Y) 的类型不同，回归分析可分为：

简单/多重线性回归：适用于 $Y$ 为连续型定量变量（且满足正态分布、方差齐性等条件）。
Logistic 回归：适用于 $Y$ 为分类变量（定性资料）,$X$可以为分类变量也可以为定量变量。

Logistic回归的类型

根据因变量 $Y$ 的分类情况，分为：

二分类 Logistic 回归：$Y$ 只有两个取值（如：发病/不发病，生存/死亡，0/1）。
有序多分类 Logistic 回归：$Y$ 为有序等级资料（如：疗效为无效、好转、显效、治愈）。
无序多分类 Logistic 回归：$Y$ 为无序分类资料（如：血型 A/B/O/AB，肿瘤类型）。

主要用途

影响因素分析：筛选并解释影响结果的危险因素或保护因素。
校正混杂因素：在多因素分析中控制混杂偏倚。
预测：利用模型预测某事件发生的概率。

例题：Logistic回归的适用性

Logistic回归适用于因变量为（）。

A. 二分类变量

B. 多分类有序变量

C. 多分类无序变量

D. 连续型定量变量

E. A、B、C均可

例题：Logistic回归的适用性

Logistic回归可用于（）。

A. 影响因素分析

B. 校正混杂因素

C. 预测

D. 仅有A和C

E. A、B、C均可

解析：Logistic回归家族非常强大，只要因变量是分类的（无论二分、有序还是无序）都适用，且功能涵盖了解释（归因）和预测。

2. 二分类 Logistic 回归模型

优势 (Odds) 与优势比 (OR)

在 Logistic 回归中，我们不直接分析概率 $P$，而是分析优势 (Odds)。

优势 (Odds)：某事件发生的概率 $P$ 与不发生概率 $1-P$ 的比值。 $$ Odds = \frac{P}{1-P} $$
优势比 (OR, Odds Ratio)：两组优势的比值（如暴露组 vs 非暴露组）。 $$ OR = \frac{Odds_1}{Odds_0} = \frac{P_1/(1-P_1)}{P_0/(1-P_0)} $$
- 样本估计：在病例对照研究或列联表中，$\hat{OR} = \frac{ad}{bc}$。

例题：OR值的联合效应计算

一项研究食管癌与吸烟、饮酒危险因素关系的数据分析结果表明，在416名病例与420名对照的匹配病例对照研究中，有286名病例与200名对照有吸烟行为。另外，饮酒与不饮酒的优势比 $OR_2=1.69$，则同时吸烟和饮酒与两者皆无的优势比 $OR$ 为（）。

A. 4.09

B. 2.42

C. 1.69

D. 4.11

E.0.73

解析：

先算吸烟的单因素$OR_1$：

病例组：吸烟286，不吸烟 $416-286=130$。

对照组：吸烟200，不吸烟 $420-200=220$。

$OR_1 = \frac{ad}{bc} = \frac{286 \times 220}{200 \times 130} = 2.42$
计算联合OR：在Logistic回归模型中（假设无交互作用），联合效应通常是相乘关系。

$OR_{总} = OR_1 \times OR_2 = 2.42 \times 1.69 \approx 4.09$

回归方程 (Logit 变换)

Logistic 回归通过 Logit 变换 将取值范围在 $(0,1)$ 的概率 $P$ 转化为取值范围在 $(-\infty, +\infty)$ 的线性形式。

线性表达式： $$ \text{logit}(P) = \ln\left(\frac{P}{1-P}\right) = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \dots + \beta_m X_m $$
概率预测模型 (S型曲线/Sigmoid函数)： $$ P = \frac{e^{\beta_0 + \beta_1 X_1 + \dots + \beta_m X_m}}{1 + e^{\beta_0 + \beta_1 X_1 + \dots + \beta_m X_m}} $$

回归系数 $\beta$ 与 $OR$ 的关系

回归系数 $\beta_i$ 表示在控制其他变量时，$X_i$ 每增加一个单位，优势 (Odds) 的对数的变化量。

数量关系：$OR = e^{\beta}$。
判断准则：
- $\beta > 0 \Rightarrow OR > 1$：危险因素，促进事件发生。
- $\beta = 0 \Rightarrow OR = 1$：无关，无统计学关联。
- $\beta < 0 \Rightarrow OR < 1$：保护因素，抑制事件发生。

例题：$\beta$ 与 $OR$ 的关系

Logistic回归系数与优势比OR的关系为（）。

A. $\beta > 0$ 等价于 $OR > 1$

B. $\beta > 0$ 等价于 $OR < 1$

C. $\beta = 0$ 等价于 $OR = 1$

D. $\beta < 0$ 等价于 $OR < 1$

E. A、C、D均正确

解析：根据公式 $OR = e^{\beta}$，指数函数的性质决定了正负号与大于小于1的对应关系。选 E。

3. 参数估计与假设检验

参数估计方法

极大似然法 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)：Logistic回归不使用最小二乘法，而是使用极大似然法进行参数估计。
- 原理：寻找一组参数，使得当前样本数据出现的概率（似然函数值）最大。

假设检验

整体模型检验：
- 似然比检验 (Likelihood Ratio Test)：统计量为 $G$ 或 $\chi^2$。
- 公式：$G = -2 \ln(L_0 / L_1)$，服从 $\chi^2$ 分布。
- 意义：检验所有自变量作为一个整体是否有效。
单个回归系数检验：
- Wald $\chi^2$ 检验：最常用。统计量 $Z = \frac{b}{S_b}$ 或 $\chi^2 = (\frac{b}{S_b})^2$。
- 记分检验 (Score Test)。
拟合优度检验：
- Hosmer-Lemeshow 检验：检验模型预测值与观测值是否吻合。
- 注意：这里希望 $P > 0.05$，即差异无统计学意义，说明模型拟合得好。

变量筛选与哑变量

逐步回归法：常用方法，自动筛选自变量。
哑变量 (Dummy Variable)：当自变量为多分类（如血型：A, B, O, AB）时，不能直接赋值 1,2,3,4，必须设置哑变量。
同进同出原则：一个多分类变量生成的多个哑变量（如3个哑变量代表4个血型），必须作为一个整体进入或剔除出模型，不能只保留其中某一个。

例题：哑变量的处理

Logistic回归中自变量如为多分类变量，宜将其按哑变量处理，与其他变量进行变量筛选时可用（）。

A.软件自动筛选的前进法

B.软件自动筛选的后退法

C.软件自动筛选的逐步法

D.应将几个哑变量作为一个因素，整体进出回归方程

E.A、B、C均可

解析：如果只保留了部分哑变量，该变量的分类含义就被破坏了，因此必须整体考虑。

4. 多分类 Logistic 回归

无序多分类

设定一个参照组（如以 $Y=3$ 为参照），分别建立 $k-1$ 个二分类 Logit 模型。
例如：比较 1 vs 3，比较 2 vs 3。

有序多分类—— 累积 Logit 模型

适用于等级资料（轻度、中度、重度）。
平行性假设 (Parallelism Assumption)：这是一个关键的前提条件。假设自变量对不同等级的累积概率的影响是相同的（即回归系数 $\beta$ 相同，只有常数项不同）。
平行性检验：
- 如果 $P > 0.05$（不拒绝）：满足平行性假设，可以使用有序 Logistic 回归。
- 如果 $P \le 0.05$（拒绝）：不满足平行性，不能用有序回归，应改用无序多分类 Logistic

5. 总结：Logistic 回归 vs 多重线性回归

比较维度	多重线性回归 (Multiple Linear Regression)	Logistic 回归
因变量 (Y)	连续型定量变量 (且服从正态分布)	分类变量 (二分类、有序、无序)
自变量 (X)	可以是定量或定性(哑变量)	可以是定量或定性
关系形态	线性关系 ($Y$ 与 $X$)	非线性关系 ($Y$ 与 $X$ 呈S型，Logit $P$ 与 $X$ 呈线性)
参数估计	最小二乘法 (Least Squares)	极大似然法 (MLE)
系数含义	$X$ 改变1单位，$Y$ 平均改变 $\beta$	$X$ 改变1单位，优势的对数改变 $\beta$ ($OR=e^\beta$)

例题：回归模型的对比

Logistic回归与多重线性回归比较，（）。

A. logistic回归的因变量为分类变量

B. 多重线性回归的因变量为分类变量

C. logistic回归和多重线性回归的因变量都可为二分类变量

D. logistic回归的自变量必须是二分类变量

E. 多重线性回归的自变量必须是二分类变量

解析：最本质的区别在于因变量的类型。选 A。