第7章 形态学图像处理
一、形态学图像处理基础（Preliminaries）
形态学（Morphology）是以形状为基础对图像进行分析和处理的技术，主要用于二值图像（也扩展到灰度图像）。
与卷积等线性滤波相比，形态学的优势：
| 特性 | 说明 |
|---|---|
| 保边 | 保留边缘信息，不会像高斯平滑那样模糊边界 |
| 基于形状 | 利用结构元素做形状驱动的处理 |
| 幂等性（Idempotent） | 开/闭操作可以设计为幂等的（重复执行不改变结果） |
| 计算高效 | 仅需逻辑运算和集合操作 |
1.1 二值图像的逻辑运算
形态学的底层操作基于集合论和逻辑运算：
| 运算 | 符号 | 含义 |
|---|---|---|
| NOT | \(\lnot\) | 取反（\(1 \to 0\)，\(0 \to 1\)） |
| AND | \(\land\) | 两者均为 \(1\) 时得 \(1\) |
| OR | \(\lor\) | 至少一个为 \(1\) 时得 \(1\) |
| XOR | \(\oplus\) | 两者不同时得 \(1\) |
1.2 集合论基本操作
设 \(A\) 为 \(\mathbb{Z}^2\) 中的集合。若 \(a = (a_1, a_2)\) 是 \(A\) 的元素，记为 \(a \in A\)；否则 \(a \notin A\)。空集记为 \(\varnothing\)。
| 操作 | 定义 | 含义 |
|---|---|---|
| 子集（Subset） | \(A \subseteq B\) | \(A\) 是 \(B\) 的子集 |
| 并集（Union） | \(C = A \cup B\) | \(C\) 是 \(A\) 和 \(B\) 的并集 |
| 交集（Intersection） | \(C = A \cap B\) | \(C\) 是 \(A\) 和 \(B\) 的交集 |
| 互斥（Disjoint） | \(A \cap B = \varnothing\) | \(A\) 和 \(B\) 不相交 |
| 补集（Complement） | \(A^c = \{w \mid w \notin A\}\) | 不包含于 \(A\) 的元素集合 |
| 差集（Difference） | \(A - B = \{w \mid w \in A, w \notin B\} = A \cap B^c\) | 在 \(A\) 但不在 \(B\) 中的元素 |
| 反射（Reflection） | \(\hat{B} = \{w \mid w = -b, \text{ for } b \in B\}\) | 关于原点翻转 |
| 平移（Translation） | \((A)_z = \{c \mid c = a + z, \text{ for } a \in A\}\) | 将 \(A\) 平移 \(z\) |
1.3 结构元素（Structure Element — SE）
结构元素（SE） 类似于卷积核：
- SE 有定义好的形状和大小（如圆形、方形、十字形等）
- SE 中的 "x" 表示不关心该位置的值
- SE 通常比被处理图像小得多
- SE 在图像上逐像素平移，每次检查 SE 与原图的集合关系
二、腐蚀（Erosion）
2.1 定义
\(A\) 被 \(B\) 腐蚀，记为 \(A \ominus B\)，定义为：
含义：所有使得 \(B\) 平移 \(z\) 后完全包含在 \(A\) 中的点 \(z\) 的集合。即 SE 必须完全在物体内部才能保留中心点。
2.2 效果
- 缩小/收缩物体：以物体外边缘为起点向内逐层减少像素，导致轮廓收缩。
- 消除小物体：尺寸小于 SE 的亮物体被完全移除
- 断开狭窄连接：物体之间的狭窄连接被断开
- 扩大孔洞：物体内部的孔洞变大
2.3 医学应用示例
- 胸腺组织提取：用 7×7 → 13×13 SE 逐步腐蚀，消除细小无关组织
- 大物体检测：腐蚀 + 开操作 → 只保留大物体，去除小的无关结构
三、膨胀（Dilation）
3.1 定义
\(A\) 被 \(B\) 膨胀，记为 \(A \oplus B\)，定义为：
含义：所有使得 \(B\) 的反射平移 \(z\) 后与 \(A\) 至少有一个像素重合的点 \(z\) 的集合。
即：将 SE 的反射在图像上滑动，只要 SE 与原图有交集，中心点就输出为前景。
3.2 效果
- 膨胀/扩大物体：在物体外层增加像素层
- 填补孔洞和裂缝：物体内部的小孔被填满
- 桥接间隙：物体之间的断开区域被连接
四、腐蚀与膨胀的性质与对偶性
4.1 共同性质
| 性质 | 描述 |
|---|---|
| 平移不变（Translation Invariant） | \((A)_z \circ B = (A \circ B)_z\) |
| 顺序不变（Order Invariant） | \((A \ominus B) \ominus C = A \ominus (B \oplus C)\) |
| 递增算子（Increasing Operator） | 若 \(A \subseteq A'\)，则 \(A \circ B \subseteq A' \circ B\) |
| 尺度不变（Scale Invariant） | \(rA \circ rB = r(A \circ B)\)，\(r\) 为尺度因子 |
4.2 腐蚀与膨胀的对偶性（Duality）
腐蚀和膨胀关于集合补集和反射互为对偶：
等价表述：
五、开操作与闭操作（Opening and Closing）
5.1 定义
开操作（Opening）：先腐蚀，后膨胀 $$ A \circ B = (A \ominus B) \oplus B $$
闭操作（Closing）：先膨胀，后腐蚀 $$ A \bullet B = (A \oplus B) \ominus B $$
5.2 效果对比
开运算（Opening）在图像处理中其底层逻辑是先腐蚀后膨胀。它的主要作用是消除图像中的明亮小噪点、断开物体之间细长的粘连部分，并平滑物体的外轮廓。
闭运算（Closing）则像是一种其底层逻辑与开运算刚好相反，是先膨胀后腐蚀。它的核心作用是填补物体内部的暗色小孔洞、弥合断裂的狭窄缝隙，以及将距离极近的相邻碎块连接成一个完整的整体。
| 效果 | 开操作（Opening） | 闭操作（Closing） |
|---|---|---|
| 平滑轮廓 | 能 | 能 |
| 断开窄桥（Isthmus） | 能 | 无 |
| 消除细小突起 | 能 | 无 |
| 融合窄断裂/细长沟 | 无 | 能 |
| 消除小孔洞 | 无 | 能 |
| 填充间隙 | 无 | 能 |
| 外角 | 变圆 | 不变 |
| 内角 | 不变 | 变圆 |
记忆技巧
- 开（Open）= 先腐蚀后膨胀 → 打开一个口子，断开窄连接
- 闭（Close）= 先膨胀后腐蚀 → 闭合一个口子，填补小孔
- 开操作名如其意：把物体"分开"；闭操作把物体"合上"
5.3 几何解释
开操作的几何直观：将 SE 在 \(A\) 内部滚动，所有 SE 能到达的位置的并集： $$ A \circ B = \bigcup {(B)_z \mid (B)_z \subseteq A} $$
闭操作的几何直观：将 SE 在 \(A\) 外部滚动，取补集： $$ A \bullet B = \left[ \bigcup {(B)_z \mid (B)_z \subseteq A^c} \right]^c $$
5.4 基本性质
| 性质 | 开操作 | 闭操作 |
|---|---|---|
| 包含关系 | \(A \circ B \subseteq A\)（开结果是 \(A\) 的子集） | \(A \subseteq A \bullet B\)（\(A\) 是闭结果的子集） |
| 单调性 | 若 \(C \subseteq D\)，则 \(C \circ B \subseteq D \circ B\) | 若 \(C \subseteq D\)，则 \(C \bullet B \subseteq D \bullet B\) |
| 幂等性（Idempotent） | \((A \circ B) \circ B = A \circ B\) | \((A \bullet B) \bullet B = A \bullet B\) |
| 对偶性 | \((A \bullet B)^c = A^c \circ \hat{B}\) | \((A \circ B)^c = A^c \bullet \hat{B}\) |
幂等性的意义
开/闭操作执行一次后，再执行同样的操作不会改变结果。这与中值滤波不同——中值滤波反复做会越来越模糊。幂等性是形态学滤波优于线性滤波的重要特性。
5.5 医学应用示例
开操作 — 颅骨剥离（Skull Stripping）：
- 二值脑图 → 取最大连通分量
- 用圆形 SE（半径 3）腐蚀 → 断开脑组织与颅骨的连接
- 用圆形 SE（半径 4）条件膨胀 → 恢复脑组织原状
闭操作 — ROI 修改：
- 闭操作前：ROI 内部有细小孔洞和缝隙
- 闭操作后：小孔洞被填补，ROI 更加完整
六、形态学滤波（Morphological Filter）
形态学滤波 = 先开操作，再闭操作
用于消除二值图像中的椒盐噪声：
- 背景噪声（椒噪声）在腐蚀阶段被消除：因为噪声分量物理尺寸小于 SE
- 前景噪声（盐噪声）在后续操作中被消除
- 只有比 SE 小的特征被影响，大尺度结构保持不变
与线性滤波的关键区别：
- 线性滤波（如高斯卷积）：所有尺度的特征都会被平滑（模糊+退化）
- 形态学滤波：只有小于 SE 的噪声被消除，大结构完全不受影响
七、击中或击不中变换（Hit-or-Miss Transformation）
用途：形状检测（Shape Detection）——在图像中定位特定形状。
用 \(B\) 表示由前景 \(B_1\) 和背景 \(B_2\) 组成的目标形状，\(B\) 在 \(A\) 中的匹配 \(A \otimes B\) 定义为：
解释：
- \(A \ominus B_1\)：找到所有 \(B_1\)（前景）能完全放入的位置
- \(A^c \ominus B_2\)：找到所有 \(B_2\)（背景）能完全放入补集的位置
- 两者取交集 → 精确匹配完整形状（前景 + 背景）的像素位置
八、基本形态学算法（Basic Morphological Algorithms）
8.1 边界提取（Boundary Extraction）
\(A\) 的边界 \(\beta(A)\) 通过先腐蚀再与原图作差得到：
其中 \(B\) 为合适的 SE（通常为 \(3 \times 3\) 十字形）。
8.2 孔洞填充（Hole Filling）
已知孔洞内一个起点 \(p\)（值为 \(0\)），通过迭代膨胀并限制在 \(A^c\) 内来填充孔洞：
其中 \(X_0\) 在 \(p\) 处为 \(1\)，其余为 \(0\)。当 \(X_k = X_{k-1}\) 时算法终止。
关键：每步与 \(A^c\) 取交集，限制填充不超出 ROI 边界。
8.3 连通分量提取（Extraction of Connected Components）
从连通分量 \(Y\) 内的一个已知点 \(p\) 开始（\(Y \subseteq A\)）：
其中 \(X_0 = p\)，\(B\) 为合适的 SE。当 \(X_k = X_{k-1}\) 时收敛，\(Y = X_k\)。
与孔洞填充的区别：孔洞填充每次与 \(A^c\) 取交集，连通分量提取每次与 \(A\) 取交集。
8.4 细化（Thinning）
\(A\) 被 SE \(B\) 细化的定义为：
对称细化使用 SE 序列 \(\{B\} = \{B_1, B_2, \ldots, B_n\}\)（\(B_i\) 是 \(B_{i-1}\) 的旋转版本）：
整个过程重复进行，直到不再发生变化。
8.5 粗化（Thickening）
粗化是细化的对偶操作：
实际中通常采用间接方法：对 \(A^c\) 做细化，再取补集得到粗化结果。
8.6 骨架提取（Skeleton）
\(A\) 的骨架 \(S(A)\) 可通过对 \(A\) 反复腐蚀和开操作得到：
其中 \((A \ominus kB)\) 表示对 \(A\) 连续腐蚀 \(k\) 次，\(K = \max\{k \mid A \ominus kB \neq \varnothing\}\)。
最大圆盘（Maximum Disk）： - 若 \((D)_z\) 是最大圆盘，则不存在更大的圆盘（不一定以 \(z\) 为中心）包含 \((D)_z\) 且仍在 \(A\) 内部 - 最大圆盘在至少两处与 \(A\) 的边界相切
九、灰度形态学（Gray-Scale Morphology）
将形态学从集合扩展到函数（图像）：
- \(f(x,y)\)：输入灰度图像
- \(b(x,y)\)：结构元素（本身是一个子图像/灰度模板）
9.1 灰度膨胀
灰度膨胀的定义：
效果： - 亮区域扩张 - 暗细节减弱或被消除 - 整体亮度提升
9.2 灰度腐蚀
灰度腐蚀的定义：
效果： - 暗区域扩张 - 亮细节减弱或被消除 - 整体亮度降低
9.3 灰度开操作与闭操作
灰度开操作：先灰度腐蚀，再灰度膨胀
- 移除比 SE 小的亮细节（小亮斑被消除）
- 平滑从上方贴合图像轮廓
灰度闭操作：先灰度膨胀，再灰度腐蚀
- 移除比 SE 小的暗细节（小黑洞被填补）
- 平滑从下方贴合图像轮廓
9.4 灰度形态学应用
- 形态学梯度（Morphological Gradient）：\(g = (f \oplus b) - (f \ominus b)\) → 提取边缘
- 纹理分割：基于纹理内容进行区域划分
- 平滑与锐化：开/闭操作可设计为平滑或增强算子
十、本章总结
| 操作 | 定义 | 效果 | 幂等性 |
|---|---|---|---|
| 腐蚀 | \(A \ominus B = \{z \mid (B)_z \subseteq A\}\) | 收缩物体，消除小目标 | 无 |
| 膨胀 | \(A \oplus B = \{z \mid (\hat{B})_z \cap A \neq \varnothing\}\) | 扩大物体，填补孔洞 | 无 |
| 开操作 | \(A \circ B = (A \ominus B) \oplus B\) | 断开窄连接，消除小突起 | 有 |
| 闭操作 | \(A \bullet B = (A \oplus B) \ominus B\) | 融合窄断裂，填补小孔 | 有 |
| 击中击不中 | \(A \otimes B = (A \ominus B_1) \cap (A^c \ominus B_2)\) | 形状检测 | 无 |
对偶性总结
| 对偶关系 | 公式 |
|---|---|
| 腐蚀 ↔ 膨胀 | \((A \ominus B)^c = A^c \oplus \hat{B}\) |
| 开 ↔ 闭 | \((A \bullet B)^c = A^c \circ \hat{B}\) |
| 细化 ↔ 粗化 | 粗化 = 对补集细化的补集 |
Note
- 腐蚀和膨胀的定义与计算：给定图像矩阵和 SE，能正确计算腐蚀/膨胀结果
- 开操作与闭操作的定义、原理和应用场景：能举例说明分别解决什么问题
- 对偶性：理解腐蚀-膨胀、开-闭之间的对偶关系
- 幂等性：开/闭操作执行一次即达到稳态，不同于线性滤波
腐蚀与膨胀矩阵计算
给定 \(5 \times 5\) 的二值图像 \(A\) 和结构元素 \(B\)（原点为 SE 的中心 \((2,2)\) 位置，即第二行第二列），请分别计算：
- \(A \ominus B\)（腐蚀）
- \(A \oplus B\)（膨胀）
图像矩阵 \(A\)：
结构元素 \(B\)：
解答
(1) 腐蚀 \(A \ominus B\)
腐蚀定义：\(A \ominus B = \{z \mid (B)_z \subseteq A\}\)，即 SE 的中心在位置 \(z\) 时，SE 完全包含在 \(A\) 内。
\(B\) 是 \(3 \times 3\) 全 \(1\) 矩阵。逐像素检查：
- 对于 \(A\) 中值为 \(1\) 的像素，以其为中心的 \(3 \times 3\) 邻域是否全为 \(1\)？
- 只有中心元素 \((2,2)\) 满足条件（周围 \(3 \times 3\) 全为 \(1\)）
- 其他 \(1\) 像素的 \(3 \times 3\) 邻域都包含 \(A\) 中的 \(0\)
因此腐蚀结果为：
(2) 膨胀 \(A \oplus B\)
膨胀定义：\(A \oplus B = \{z \mid (\hat{B})_z \cap A \neq \varnothing\}\)。由于 \(B\) 是对称的（\(B = \hat{B}\)），等价于：只要 SE 与 \(A\) 有交集，就输出 \(1\)。
实际操作：将 \(B\) 的原点依次放在 \(A\) 中每个值为 \(1\) 的像素上，被 \(B\) 覆盖的所有位置都设为 \(1\)。相当于对 \(A\) 做 \(3 \times 3\) 的"最大值扩张"。
因此膨胀结果为：
总结验证： - 腐蚀后物体缩小了（只剩一个像素） - 膨胀后物体扩大了（几乎充满整个图像） - 腐蚀 + 膨胀（先腐蚀再膨胀）= 开操作：会消除小的 \(1\) 区域 - 膨胀 + 腐蚀（先膨胀再腐蚀）= 闭操作：会填补小的 \(0\) 区域
实验
实验4-project2
实验内容
本实验使用数学形态学操作对含噪声的脑部二值掩膜进行修复，并与标准掩膜（Ground Truth）进行对比评估：
- 读取数据：导入 noisy_brain_mask.npy（含噪声掩膜）、brain_tissue_mask_slice.npy（标准掩膜）、original_brain_slice_.npy（原始脑切片）、brain_tissue_slice.npy（标准脑组织切片）
- 掩膜修复：对含噪掩膜依次进行开运算和闭运算，去除外部假阳性噪声（如头骨细线），并填补内部假阴性孔洞
- 缺陷检查：将修复结果与 Ground Truth 对比，分析假阳性（FP）和假阴性（FN）分布
- 脑实质提取：使用修复后的掩膜从原图中提取脑实质
实验原理
形态学修复基于两个核心操作：
(1) 开运算（Opening）— 去除外部伪影
对含噪掩膜做开运算（先腐蚀后膨胀），本质是通过腐蚀"切断"大脑外部的细小头骨线，再通过膨胀恢复大脑主体的尺寸。
利用 \(3 \times 3\) 十字形结构元素，连续两次开运算迭代，成功消除大部分与脑主体不相连或连接薄弱的外部伪影。
(2) 闭运算（Closing）— 填补内部孔洞
对开运算结果做闭运算（先膨胀后腐蚀），通过膨胀"填上"脑实质内部的细小孔洞，再通过腐蚀恢复边界位置。
历年卷解答
一、腐蚀计算（2022 大题）
知识点定位：形态学 — 二值腐蚀
题目：给一个图像矩阵和结构，做腐蚀（计算）。
题目设计（根据回忆还原）：
给定 \(5 \times 5\) 的二值图像 \(A\) 和结构元素 \(B\)（十字形，原点为中心），计算 \(A \ominus B\)：
解答：
腐蚀定义为 \(A \ominus B = \{z \mid (B)_z \subseteq A\}\)，即 SE 的中心位于 \(z\) 时，SE 所有 \(1\) 的位置必须对应 \(A\) 中的 \(1\)。
\(B\) 是十字形：需要上、下、左、右、中五个位置全为 \(1\)。
遍历 \(A\) 中所有 \(1\) 的位置： - \((1,1)\)：上方是 \(0\)，不满足 → \(0\) - \((1,2)\)：上方是 \(0\)，不满足 → \(0\) - \((1,3)\)：上方是 \(0\)，不满足 → \(0\) - \((2,1)\)：左方是 \(0\)，不满足 → \(0\) - \((2,2)\)：上下左右中全是 \(1\)，满足 → \(1\) - ... 以此类推
最终腐蚀结果：
考试计算技巧
腐蚀 = SE 完全覆盖：对于 SE 中为 \(1\) 的每个位置，原图中对应位置必须也是 \(1\)。只要有一个不满足，该位置输出 \(0\)。
膨胀 = SE 有交集即可：对于 SE 中为 \(1\) 的每个位置，只要原图中至少有一个对应位置是 \(1\)，该位置输出 \(1\)。
二、开操作与闭操作的定义及应用（2022 大题）
知识点定位：形态学 — 开操作与闭操作
题目：什么是 Opening、Closing？分别可以解决什么问题？
解答：
(1) 定义
- 开操作（Opening）：\(A \circ B = (A \ominus B) \oplus B\)，即先腐蚀后膨胀
- 闭操作（Closing）：\(A \bullet B = (A \oplus B) \ominus B\)，即先膨胀后腐蚀
(2) Opening 解决的问题
- 断开狭窄连接：消除物体之间细小的连接部分（如脑组织与颅骨之间的细小连接）
- 消除细小突起/毛刺：平滑物体轮廓的外凸部分
- 消除尺寸小于 SE 的亮噪声：相当于去除前景中的盐噪声
医学应用：颅骨剥离（Skull Stripping）——利用开运算断开脑组织与头骨的窄连接，再进行条件膨胀恢复脑组织。
(3) Closing 解决的问题
- 融合窄断裂/细长沟：连接物体内部的微小断裂
- 填补小孔洞：消除物体内部的暗噪声
- 消除尺寸小于 SE 的暗噪声：相当于去除前景中的"椒"噪声
医学应用：脑部CT ROI 修饰——脑部分割后，ROI 内有细小空洞，闭运算填补后 ROI 更完整。
(4) 关键区别
| Opening | Closing | |
|---|---|---|
| 操作顺序 | 腐蚀 → 膨胀 | 膨胀 → 腐蚀 |
| 对物体的影响 | 分离、断开 | 合并、闭合 |
| 对轮廓的影响 | 外角变圆 | 内角变圆 |
| 尺寸关系 | \(A \circ B \subseteq A\) | \(A \subseteq A \bullet B\) |
三、开操作、闭操作的原理和应用（2021 大题）
知识点定位：形态学 — 开操作与闭操作
答案：同上（二），2021 年考查了相同的知识点。补充一点——幂等性的含义：
开/闭操作是幂等的：执行一次后，再执行同样的操作不会改变结果。这意味着形态学滤波可以做到只消除小于 SE 的噪声特征，而完全不损伤大于 SE 的结构特征，这是线性卷积滤波无法做到的。
四、开操作计算（2021 大题）
知识点定位：形态学 — 开操作矩阵计算
题目：做开操作（给出具体图像和结构元素，计算 \(A \circ B\)）。
解答思路：
开操作 = 先腐蚀、后膨胀。计算分两步：
- 腐蚀：遍历图像，对每个位置检查 SE 是否能完全放入前景
- 膨胀：对腐蚀结果，以 SE 的反射遍历，只要与腐蚀结果有交集就输出前景
手工计算技巧
做开操作计算题时，分两步： 1. 先做腐蚀（SE 必须完全被包含） 2. 在腐蚀结果上做膨胀（SE 有交集即可） 3. 注意 SE 的原点位置（通常是 SE 的中心）
五、膨胀的定义与计算（2020 简答）
知识点定位：形态学 — 膨胀
题目：描述膨胀的定义，并给图画出膨胀结果。
解答：
(1) 定义
\(A\) 被 \(B\) 膨胀定义为：
即 SE 的反射平移 \(z\) 后，与 \(A\) 至少有一个像素重合的 \(z\) 的集合。
(2) 膨胀效果
- 物体外扩：在物体外围"增加"像素层
- 孔洞缩小/消失：物体内部的孔洞被压缩填满
- 断裂桥接：不连续的物体被连接起来
- 当 SE 对称时（\(B = \hat{B}\)），膨胀等价于将 SE 的原点放在每个 \(A\) 的前景像素上，取所有 SE 覆盖位置的并集
六、腐蚀的定义与计算（2020 简答）
知识点定位：形态学 — 腐蚀
题目：描述腐蚀的定义，并给图画出腐蚀结果。
解答：
(1) 定义
\(A\) 被 \(B\) 腐蚀定义为：
即 SE 平移 \(z\) 后完全被包含在 \(A\) 中的 \(z\) 的集合。
(2) 腐蚀效果
- 物体收缩：从外层"剥掉"像素
- 小物体消失：尺寸小于 SE 的物体被完全移除
- 窄连接断开：薄弱的物体间连接被切断
- 孔洞扩大：物体内部的孔洞变大