第9章 图像配准

一、图像配准基础（Fundamentals of Image Registration）

1.1 什么是图像配准

图像配准（Image Registration）是将两幅图像之间的点进行空间变换（Spatial Transform），使其在空间上对应到同一解剖位置的过程。

给定一组匹配的特征点 \(\{p_i, q_i\}\)，以及变换函数 \(T(p; \theta)\)：

• \(p_i\)：源图像（Source/Moving Image）中的点
• \(q_i\)：目标图像（Target/Fixed Image）中的对应点
• \(\theta\)：变换参数
• \(q = T(p; \theta)\)：从源到目标的映射

配准的两个核心目标：

1. 定义变换函数 \(T\)

2. 优化参数 \(\theta\)，使变换后的源图像与目标图像尽可能相似

1.2 配准的三大基础方法

方法	原理	说明
基于点（Point-based）	使用解剖标志点或外部标记点	CT-PET 的 landmark 配准
基于表面（Surface-based）	使用皮层/器官表面网格	白质/灰质皮层网格匹配
基于灰度（Intensity-based）	直接使用图像灰度信息	最常用，无需手动标记

1.3 配准流水线（Registration Pipeline）

配准的四个基本步骤：

1. 定义变换类型（刚性、仿射、非线性）
2. 定义相似度指标（SSD、CC、MI 等）
3. 优化变换参数以最大化相似度指标
4. 重采样得到配准后的图像

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二、线性变换（Linear Transformation）

2.1 仿射变换（Affine Transform）

二维仿射变换的一般形式：

\[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & t_x \\ a_{21} & a_{22} & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} \]

仿射变换包含 12 个自由度（3D 情况，共 12 个参数：\(3 \times 3\) 矩阵 + 3 个平移参数）：

变换类型	操作	自由度（3D）	保持的性质
平移（Translation）	\(x' = x + t_x\)	3	方向、长度、角度、面积
刚性（Rigid）	平移 + 旋转	6	长度、角度、面积
相似（Similarity）	刚性 + 均匀缩放	7	角度、形状比例
仿射（Affine）	旋转 + 缩放 + 剪切 + 平移	12	平行性、共线性
投影（Projective）	透视变换	15	共线性

2.2 旋转矩阵

二维旋转矩阵：

\[ R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

2.3 插值方法

变换后的图像坐标可能落在非整数位置，需要插值：

方法	原理	特点
最近邻（Nearest）	取最近整数坐标的像素值	最快，但有锯齿
双线性（Bilinear）	\(2 \times 2\) 邻域的线性加权	平滑，最常用
双三次（Bicubic）	\(4 \times 4\) 邻域（16个像素）的三次多项式拟合	最平滑，计算量大

\[ f(x,y) = \sum_{i=0}^{3} \sum_{j=0}^{3} a_{ij} x^i y^j \]

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三、相似度度量（Similarity Metrics）

3.1 模内 vs 模间配准

类型	含义	示例
模内配准（Intra-modality）	同一种成像模态之间	T1w → T1w、fMRI 序列间
模间配准（Inter-modality）	不同成像模态之间	CT → PET、T1w → T2w

3.2 误差平方和（SSD）

假设：两幅图像仅存在加性高斯噪声的差异。

\[ SSD = \frac{1}{N} \sum_{i} (I_1(i) - I_2(i))^2 \]

• 适用：同模态配准（如多次 MR 扫描之间）
• 优势：计算极快
• 劣势：对灰度缩放、对比度变化、模态差异极其敏感，跨模态时数值膨胀到无意义

3.3 比值图像均匀度（RIU）

假设：两幅图像之间存在乘法增益因子的差异。

\[ R_i = \frac{I_1(i)}{I_2(i)}, \quad RIU = \frac{\sigma_R}{\mu_R} \]

• 适用：同模态但存在增益差异（多次 PET 扫描）
• 劣势：对背景零值极敏感，比值图像在背景区域剧烈波动

3.4 互相关系数（CC）

假设：两幅图像的灰度值之间存在线性关系。

\[ CC = \frac{\sum_{i} (I_1(i) - \bar{I}_1)(I_2(i) - \bar{I}_2)}{\sqrt{\sum_{i} (I_1(i) - \bar{I}_1)^2} \sqrt{\sum_{i} (I_2(i) - \bar{I}_2)^2}} \]

• CC 取值范围 \([-1, 1]\)，配准时取绝对值最大
• 适用：同模态（可容忍线性亮度/对比度变化）
• 劣势：无法处理非线性灰度关系（如 T1w 和 T2w 的灰度反转）

3.5 互信息（MI）——跨模态配准的黄金标准

假设：无需假设灰度值的关系，仅依赖统计相关性。

基于信息论，当解剖结构完美对齐时，联合熵最小，互信息最大。

\[ MI(I_1, I_2) = H(I_1) + H(I_2) - H(I_1, I_2) \]

互信息 \(\geq 0\)，值越大表示对齐越好。MI 是唯一不依赖灰度线性假设的指标，适用于跨模态配准。

3.6 四种指标总结对比

指标	模态假设	鲁棒性	计算量	最佳场景
SSD / MSE	同模态	低（噪声敏感）	低	同模态、无灰度变化
RIU	同模态（乘法差异）	中等	中等	同模态、有增益差异
CC	同模态 / 线性	高（线性变化鲁棒）	中等	同模态、亮度/对比度变化
MI	多模态	极高	高	不同模态（CT/PET/MRI）

3.7 各指标适用场景

指标	适用场景
SSD/MSQ	序列 MR 图像及功能磁共振成像 (fMRI)
CC	单模态 (同种影像设备配准)
RIU	多张 PET 图像、脑部序列 MR 图像
PIU	MR-PET 跨模态配准
MI / 联合熵	多模态、单模态

3.8 优化目标方向

• 单模态配准

  • 均方误差SSD最小化
  • 归一化互相关CC最大化
  • 差分熵最小化

• 多模态配准

  • 互信息最大化
  • 归一化互信息最大化

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四、信息论基础（Information Theory）

4.1 信息的定义

香农信息论：低概率事件 = 高信息量。

\[ I(p) = -\log(p) \]

性质：连续、非负 \([0, +\infty]\)、单调递减、可加。

4.2 熵（Entropy）

熵是信息的期望值：

\[ H(X) = E[I(X)] = -\sum_{x} p(x) \log p(x) \]

• 联合熵：\(H(X, Y) = -\sum_{x,y} p(x,y) \log p(x,y)\)
• 条件熵：\(H(Y|X) = -\sum_{x,y} p(x,y) \log p(y|x) = H(X,Y) - H(X)\)

4.3 互信息（Mutual Information）

互信息 = 联合分布 \(p(x,y)\) 与边缘分布乘积 \(p(x)p(y)\) 之间的相对熵：

\[ I(X; Y) = \sum_{x,y} p(x,y) \log \frac{p(x,y)}{p(x)p(y)} \]

等价关系：

\[ I(X; Y) = H(X) + H(Y) - H(X,Y) = H(Y) - H(Y|X) \]

MI 作为配准指标的直觉：正确配准 → 联合直方图集中在对角线 → 联合熵减小 → MI 增大。

4.4 联合直方图（Joint Histogram）

联合直方图是计算互信息的核心数据结构，也是理解配准质量的直观可视化工具。

4.4.1 定义与计算

联合直方图 \(h[a,b]\) 统计图像 A 灰度为 \(a\)、图像 B 灰度为 \(b\) 的同一空间位置像素出现的次数。

计算方法（逐像素配对统计）：

1. 初始化一个 \(L \times L\) 的零矩阵 \(H[i,j] = 0\)（\(L\) 为灰度级数）
2. 遍历所有像素位置 \((m,n)\)：\(H[I_A(m,n), I_B(m,n)] \mathrel{+}= 1\)
3. 归一化得到联合概率分布：

\[ p(a, b) = \frac{h[a, b]}{\sum_{a,b} h[a, b]} \]

4.4.2 计算示例

假设两幅 \(2 \times 2\) 图像：

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \]

逐像素配对：

• 位置 \((0,0)\)：\((A=1, B=2)\) → \(H[1,2] \mathrel{+}= 1\)

• 位置 \((0,1)\)：\((A=2, B=1)\) → \(H[2,1] \mathrel{+}= 1\)

• 位置 \((1,0)\)：\((A=2, B=1)\) → \(H[2,1] \mathrel{+}= 1\)

• 位置 \((1,1)\)：\((A=1, B=2)\) → \(H[1,2] \mathrel{+}= 1\)

\[ H = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}, \quad p = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 \\ 0 & 0.5 & 0 \end{bmatrix} \]

从联合直方图可以看到，像素对集中在 \((1,2)\) 和 \((2,1)\) 两条对角线上，表明两幅图像之间存在灰度反转关系（A 中为 1 的位置 B 中为 2，反之亦然）。

4.4.3 联合直方图的典型形状及其意义

情况	联合直方图形状	物理含义
恒等图像（同一幅图配准自己）	严格对角直线	两图像素值完全一致
小偏移（配准接近最优）	对角线变粗、略有发散	大部分像素对齐，少数轻微错位
大偏移（未配准）	分散为块状/团状	像素对应关系随机化
同模态不同图像	较集中的对角线区域	线性关系，噪声导致扩散
线性缩放 + 平移	在对角线附近呈带状分布	\(B = kA + t\)，斜率由 \(k\) 决定
跨模态（CT vs MRI）	分散但仍有可辨识结构	非线性灰度关系
跨模态（MR vs PET）	更加分散，结构模糊	模态差异极大

4.4.4 联合直方图 → 联合熵 → 互信息

从联合直方图到互信息的计算链路：

\[ H[a,b] \xrightarrow{\text{归一化}} p(a,b) \xrightarrow{-\sum p\log p} H(A,B) \xrightarrow{H(A)+H(B)-H(A,B)} MI(A,B) \]

核心直觉：

• 未配准：同一解剖位置对应随机灰度 → 联合直方图分散 → \(H(A,B)\) 大 → MI 小
• 已配准：同一解剖位置灰度有确定关系 → 联合直方图集中 → \(H(A,B)\) 小 → MI 大

这就是为什么最大化 MI 可以驱动配准。

4.4.5 归一化互信息（NMI）

标准互信息 MI 的一个关键问题是：当图像重叠区域（Field of View, FOV）发生变化时，MI 值也会随之变化——大量背景像素的加入会使 MI 趋近于 0。

归一化互信息（NMI） 通过除以联合熵来消除这一影响：

\[ NMI(A,B) = \frac{H(A) + H(B)}{H(A,B)} \]

NMI 对于图像重叠区域大小和背景比例具有极强的鲁棒性，在实际配准中比标准 MI 更常用。

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五、优化方法（Optimization）

5.1 基本概念

图像配准的相似度函数 \(S(I_f, I_m; \theta)\) 通常没有闭合解，必须迭代优化：

• 一维搜索
• 梯度下降（Gradient Descent）
• 变尺度法（Variable Metric）

5.2 梯度下降法

参数更新公式：

\[ \theta_{k+1} = \theta_k - \alpha \cdot \nabla S(\theta_k) \]

其中 \(\alpha\) 为学习率（步长）。若新参数未改善相似度指标，则减小步长后重试。

数值梯度近似（当解析梯度不可直接计算时）：

\[ \frac{\partial S}{\partial \theta_i} \approx \frac{S(\theta + \delta e_i) - S(\theta - \delta e_i)}{2\delta} \]

5.3 实际配准中的优化策略

策略	说明
多起点（Multi-start）	从多个初始点同时开始，避免陷入局部极值
多分辨率（Multi-resolution）	先在粗分辨率（如 \(6 \times 6 \times 6\) mm）上快速搜索，再逐级细化到 \(1.5 \times 1.5 \times 1.5\) mm
参数缩放（Parameter Scaling）	角度（弧度）和平移（像素）量级差异极大，必须分别缩放
自适应步长	梯度方向持续一致时增大步长，方向反转时减半步长

5.4 MI 与梯度下降的冲突

离散 MI 通过直方图分箱（Binning）计算，导致其能量曲面呈阶梯状——微小的参数变化不会改变分箱结果 → 梯度为零 → 梯度下降法失效。

解决方案：

• 使用无梯度优化器（如 Powell 算法）
• 使用Mattes MI（B-spline 核密度估计使 MI 曲面连续可导）

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六、非线性配准（Non-linear Registration）

6.1 从线性到非线性

类型	自由度	适用场景
刚性（Rigid）	6	同一被试的头骨配准
仿射（Affine）	12	全局缩放、剪切
非线性	大量	不同被试之间、脑发育/萎缩

非线性变换通过变形场（Deformation Field） \(\mathbf{u}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) 表示——图像中每个体素都有一个位移向量，描述该点从源空间到目标空间的移动。

非线性配准面临的核心挑战：

• 自由度极高，搜索空间呈指数级增长
• 初始化和局部极值问题比线性配准严重得多
• 必须有正则化约束（如平滑性），否则会过拟合噪声

6.2 非线性配准的两大类方法

方法类别	原理	代表算法
参数化方法	用参数化模型（如B样条基函数）表示变形场，优化这些参数	FFD（Free-Form Deformation）
非参数化方法	直接在体素级别估计变形场，配合平滑正则化	Demons、LDDMM、HAMMER

6.3 微分同胚（Diffeomorphic）变换

6.3.1 基本概念

微分同胚是光滑可逆的非线性变换，满足三大性质：

性质	含义
一一映射（One-to-one / Injective）	每个点在目标空间中恰好有一个对应点，无两点重叠
满射 / 可逆（Surjective / Invertible）	变换及其逆变换都存在，覆盖整个目标空间
光滑 / 可微（Smooth / Differentiable）	变换函数和逆函数都连续可微

微分同胚 = 同胚（Homeomorphism）+ 可微性：同胚保证拓扑不变（一一映射），微分同胚在此基础上额外要求光滑性。

核心思想：大变形 = 许多小变形的复合（Composition），而非一步到位。每一步都是微小且光滑的推动，累积产生任意大的变形。 $$ \Phi = \phi_1 \circ \phi_2 \circ \cdots \circ \phi_n $$

为什么微分同胚在计算解剖学中至关重要？

• 它保持拓扑结构——不会出现解剖上不可能的折叠（\(\det(J) > 0\) 处处成立）
• 逆变换始终存在——可以从配准后的空间无损地映射回原始空间
• 本质上是解剖学配准的物理约束：两个大脑之间确实存在光滑的一一对应

6.3.2 与普通非线性变换的对比

特性	普通非线性	微分同胚
折叠（Folding）	可能发生	不可能
可逆性	不一定	保证可逆
拓扑保持	可能破坏	严格保持
物理合理性	可能不满足	总能满足

6.4 Demons 算法

Demons 算法是一种经典的非参数化非线性配准方法，其基本思想来自物理学中的麦克斯韦妖（Maxwell's Demon）——想象在两个图像的边界上有一群"小妖"，它们根据图像的局部梯度推动像素，使浮动图像逐渐变形为目标图像。

基本迭代流程：

1. 初始化位移场 \(\mathbf{u}\)（如恒等变形，即所有位移为零）
2. 对于梯度非零的每个像素，计算驱动力（Demons Force）：
3. 若当前像素值低于目标值 → 沿图像梯度方向推动
4. 若当前像素值高于目标值 → 沿图像反梯度方向推动
5. 直觉：让浮动图像的像素值"追上"目标图像的像素值
6. \(\mathbf{u} \leftarrow \mathbf{u} +\) 驱动力
7. 对更新后的 \(\mathbf{u}\) 做高斯平滑（正则化，确保变形场光滑）
8. 迭代至收敛

Demons 算法的核心直觉：Demon站在浮动图像的边缘（梯度非零处），比较当前位置的浮动图像值与目标图像值。如果浮动值偏小，就往梯度正方向推（让值变大去匹配目标）；如果浮动值偏大，就往反方向推（让值变小去匹配目标）。

为什么需要高斯平滑？

• 不加平滑：变形场会出现锯齿和断裂，产生物理上不可能的变形
• 高斯平滑相当于施加扩散正则化，使变形场光滑连续

6.5 自由形变（FFD, Free-Form Deformation）

FFD 是一种参数化的非线性配准方法，使用 B 样条（B-spline） 基函数来表示变形场：

• 在图像上放置一张均匀的控制点网格
• 每个控制点的位移作为待优化参数
• 控制点之间的位移由 B 样条基函数插值得到，保证光滑性
• 移动一个控制点只影响其局部邻域（B 样条的紧支撑性）

FFD 的层级策略：从粗网格（少量控制点，捕捉大范围变形）→ 逐步细化网格（更多控制点，捕捉局部细节），类似于多分辨率配准。

6.6 LDDMM（Large Deformation Diffeomorphic Metric Mapping）

LDDMM 是微分同胚配准中的代表性算法，通过优化一系列速度场 \(v_t\) 来估计测地线（geodesic）路径上的大变形。

核心数学框架：

• 不直接优化变形场，而是优化一系列随时间变化的速度场 \(v_t\)
• 变形场 \(\Phi\) 由速度场的积分（flow）得到：\(\frac{d\Phi}{dt} = v_t \circ \Phi_t\)
• 通过求解微分方程，保证产生的变换严格满足微分同胚性质
• 使用微分算子（如 \(L = -\alpha\nabla^2 + \beta\nabla\nabla\cdot + \gamma\)）对速度场施加平滑约束，产生测地线距离最小的光滑变换

LDDMM 的优势：

• 数学上严格保证微分同胚的三大性质
• 测地线路径对应能量最小的变形路径
• 在脑图谱构建（Atlas Building）和群体分析中应用广泛

6.7 其他非线性配准方法

算法	特点
HAMMER	基于几何属性向量（而非灰度值）驱动配准，对脑组织对比度差异鲁棒
SyN（Symmetric Normalization）	ANTs 中的对称微分同胚方法，同时优化正向和反向变换，保证逆一致性
DARTEL	SPM 中的微分同胚配准，基于李代数（Lie Algebra）指数映射，计算效率高
FNIRT	FSL 中的非线性配准工具，基于有限元模型（FEM），适合 fMRI 脑图像标准化

6.8 雅可比矩阵（Jacobian Matrix）

变形场 \(\mathbf{u}(x,y,z)\) 的雅可比矩阵，其中各元素为变形场分量对空间坐标的偏导数：

\[ J = \begin{bmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} & \frac{\partial u_x}{\partial z} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} & \frac{\partial u_y}{\partial z} \\ \frac{\partial u_z}{\partial x} & \frac{\partial u_z}{\partial y} & \frac{\partial u_z}{\partial z} \end{bmatrix} \]

雅可比行列式（Jacobian Determinant） 衡量局部体积变化：

\[ \det(J) \begin{cases} > 1 & \text{局部膨胀（Expansion）} \\ = 1 & \text{体积不变（No change）} \\ < 1 & \text{局部收缩（Contraction）} \end{cases} \]

关键注意事项：

• \(0 < \det(J) < 1\) 表示体积收缩但方向不变
• \(\det(J) < 0\) 表示发生了方向翻转（镜面反射），这在微分同胚配准中是不允许的——微分同胚要求 \(\det(J) > 0\) 处处成立
• \(|\det(J)|\) 才是纯体积缩放比

应用：基于张量的形态测量（TBM, Tensor-Based Morphometry）——通过比较不同人群（如患者 vs 健康对照）的 \(\log(\det(J))\) 空间分布，检测局部的脑组织萎缩或膨胀模式。

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七、配准评估与实用工具（Evaluation & Tools）

7.1 评估方法

方法	说明
金标准（Gold Standard）	基于仿真数据或基准标记点
手动标注	用户选定的解剖标志或手动分割结构验证配准结果
可视化评估	叠加显示（Overlay）、棋盘交替显示（Checkerboard）

7.2 Dice 系数

Dice 系数用于量化两个掩膜的空间重叠程度：

\[ Dice = \frac{2|A \cap B|}{|A| + |B|} \]

取值范围 \([0, 1]\)，\(1\) 表示完全重合。

7.3 主流配准工具

工具	全称	特点
FSL (FNIRT/FLIRT)	FMRIB Software Library	线性(FLIRT)+非线性(FNIRT)，fMRI 脑图像标准化的标配
Freesurfer (CVS)	—	结合体素+皮层表面的配准，解剖学精度高
ANTs	Advanced Normalization Tools	SyN 微分同胚配准，多种变换类型，被广泛认为是性能最强的开源配准工具
SPM (DARTEL)	Statistical Parametric Mapping	李代数指数映射的微分同胚配准，与 fMRI 统计分析紧密集成
SimpleITK	Simple Insight Toolkit	Python 接口友好，适合教学和快速原型开发

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八、本章总结

配准核心要素

类别	关键方法/概念	要点
变换	刚性、仿射、非线性	自由度递增
插值	最近邻、双线性、双三次	精度 vs 速度的权衡
相似度	SSD / RIU / CC / MI	MI 是跨模态配准的金标准
优化	梯度下降、多分辨率、Powell	多尺度策略避免局部极值
非线性	Diffeomorphic, Demons, FFD, LDDMM	保持拓扑的光滑可逆映射
评估	Dice, Jacobian	分别衡量空间重叠和体积变化

模内 vs 模间配准

对比维度	模内配准	模间配准
推荐指标	SSD / CC	MI / NMI
典型场景	同一被试多次 fMRI 扫描对齐	T1w ↔ T2w / CT ↔ PET
灰度关系	线性/加法	非线性/未知
难度	较低	较高

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课后作业

题目 1：线性变换下的 CC 与 SSD（PPT HW1）

题目：对于两幅 MRI 图像 \(A\)（固定图像）和 \(B'\)（浮动图像），两者为同一被试的两次扫描，因此仅存在线性变换：\(B'(i) = kA(i) + t\)，对所有满足 \(B'(i) > 0\) 的像素 \(i\) 成立，其中 \(k > 0\)。

1. 证明 \(A\) 与 \(B'\) 之间的互相关系数 CC 为 \(1\)
2. 用 \(k\), \(t\), 总像素数 \(N\), 以及 \(A\) 的均值 \(\bar{A}\) 和标准差 \(\sigma(A)\) 表示 \(A\) 与 \(B'\) 之间的 SSD

解答：

(1) CC 的证明

由条件 \(B'(i) = kA(i) + t\)（\(k > 0\)），先求 \(B'\) 的均值：

\[ \bar{B'} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (kA(i) + t) = k \cdot \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} A(i) + t = k\bar{A} + t \]

CC 公式为：

\[ CC = \frac{\sum (A(i) - \bar{A})(B'(i) - \bar{B'})}{\sqrt{\sum (A(i) - \bar{A})^2} \sqrt{\sum (B'(i) - \bar{B'})^2}} \]

将 \(B'(i) = kA(i) + t\) 和 \(\bar{B'} = k\bar{A} + t\) 代入：

分子：

\[ B'(i) - \bar{B'} = (kA(i) + t) - (k\bar{A} + t) = k(A(i) - \bar{A}) \]

\[ \text{分子} = \sum (A(i) - \bar{A}) \cdot k(A(i) - \bar{A}) = k \sum (A(i) - \bar{A})^2 \]

分母第二项（\(B'\) 的标准差部分）：

\[ \sqrt{\sum (B'(i) - \bar{B'})^2} = \sqrt{\sum k^2 (A(i) - \bar{A})^2} = |k| \sqrt{\sum (A(i) - \bar{A})^2} \]

因此：

\[ CC = \frac{k \sum (A(i) - \bar{A})^2}{\sqrt{\sum (A(i) - \bar{A})^2} \cdot |k| \sqrt{\sum (A(i) - \bar{A})^2}} = \frac{k}{|k|} \]

由于 \(k > 0\)（同模态 MRI，灰度值正相关），故：

\[ CC = \frac{k}{k} = 1 \]

即 \(CC = 1\)，得证。CC 对线性缩放（\(k\)）和平移（\(t\)）具有不变性——只要两幅图像之间存在线性关系，CC 就能完美识别这种关系。

(2) SSD 的表达式

SSD 定义为：

\[ SSD = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (A(i) - B'(i))^2 \]

代入 \(B'(i) = kA(i) + t\)：

\[ SSD = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} [A(i) - kA(i) - t]^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} [(1-k)A(i) - t]^2 \]

利用技巧 \((1-k)A(i) - t = (1-k)(A(i) - \bar{A}) + [(1-k)\bar{A} - t]\)，展开平方和：

\[ \begin{aligned} SSD &= \frac{1}{N} \sum \left[ (1-k)^2 (A(i) - \bar{A})^2 + 2(1-k)(A(i) - \bar{A})[(1-k)\bar{A} - t] + [(1-k)\bar{A} - t]^2 \right] \end{aligned} \]

三项分别处理：

• 第一项：\(\frac{1}{N}(1-k)^2 \sum (A(i) - \bar{A})^2 = (1-k)^2 \sigma^2(A)\)
• 第二项：含 \(\sum (A(i) - \bar{A}) = 0\)，所以此项为 \(0\)
• 第三项：常数累加 \(N\) 次除以 \(N\) → \([(1-k)\bar{A} - t]^2\)

因此：

\[ \boxed{SSD = (1-k)^2 \sigma^2(A) + [(1-k)\bar{A} - t]^2} \]

或等价展开为：

\[ SSD = (1-k)^2(\sigma^2(A) + \bar{A}^2) - 2t(1-k)\bar{A} + t^2 \]

验证：当 \(k = 1\), \(t = 0\) 时（无变换），\(SSD = 0\)，符合预期。

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题目 2：熵与归一化互信息计算（PPT HW2）

题目：给定图像 \(A = [18, 97]\)，\(B = [97, 18]\)。

1. 计算 \(H(A)\) 和 \(H(B)\)（用 \(\log(m)\) 形式表示，\(m \in \mathbb{N}\)）
2. 计算 \(I(A,B)\) 和 \(NMI(A,B) = \frac{H(A)+H(B)}{H(A,B)}\)
3. 如果图像添加更多背景像素：\(A' = [18, 97, 0, 0, \ldots, 0]\)，\(B' = [97, 18, 0, 0, \ldots, 0]\)（各包含 \(N\) 个额外 \(0\)），计算 \(I(A',B')\) 和 \(NMI(A',B')\)，讨论为什么 NMI（归一化互信息）比标准 MI 更常用？

解答：

(1) \(H(A)\) 和 \(H(B)\)

\(A = [18, 97]\) 共 2 个像素，灰度值 18 和 97 各出现 1 次：

\[ p_A(18) = \frac{1}{2}, \quad p_A(97) = \frac{1}{2} \]

\[ H(A) = -\frac{1}{2}\log\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\log\frac{1}{2} = \log 2 \]

同理 \(H(B) = \log 2\)。

(2) \(I(A,B)\) 和 \(NMI(A,B)\)

联合分布：像素对为 \((18, 97)\) 和 \((97, 18)\)，各出现 1 次：

\[ p(18, 97) = \frac{1}{2}, \quad p(97, 18) = \frac{1}{2} \]

\[ H(A, B) = -\frac{1}{2}\log\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\log\frac{1}{2} = \log 2 \]

\[ I(A; B) = H(A) + H(B) - H(A, B) = \log 2 + \log 2 - \log 2 = \log 2 \]

\[ NMI(A, B) = \frac{H(A) + H(B)}{H(A, B)} = \frac{2\log 2}{\log 2} = 2 \]

(3) 添加背景后的变化与 NMI 的优势

添加 \(N\) 个背景像素 \(0\) 后，总像素数变为 \(N+2\)。

边缘概率分布变为：

\[ p(18) = p(97) = \frac{1}{N+2}, \quad p(0) = \frac{N}{N+2} \]

\[ \begin{aligned} H(A') = H(B') &= -\left[2 \cdot \frac{1}{N+2}\log\frac{1}{N+2} + \frac{N}{N+2}\log\frac{N}{N+2}\right] \\ &= \frac{2}{N+2}\log(N+2) + \frac{N}{N+2}\log\frac{N+2}{N} \\ &= \log(N+2) - \frac{N}{N+2}\log N \end{aligned} \]

联合分布：1 个 \((18, 97)\) + 1 个 \((97, 18)\) + \(N\) 个 \((0, 0)\)。

可验证 \(H(A', B') = H(A')\)（联合分布的三种事件概率结构与边缘分布完全一致）。

\[ I(A', B') = H(A') + H(B') - H(A', B') = H(A') + H(A') - H(A') = H(A') \]

\(I(A', B') = H(A')\) 会随 \(N\) 的增加而变化，当 \(N \to \infty\)（背景占绝对主导）时，\(H(A') \to 0\)，即 \(I(A', B') \to 0\)。

但：

\[ NMI(A', B') = \frac{H(A') + H(B')}{H(A', B')} = \frac{2H(A')}{H(A')} = 2 \]

NMI 始终保持常数 \(2\)，与背景像素数 \(N\) 完全无关。

为什么 NMI 比标准 MI 更常用？

1. 标准 MI 对图像重叠区域（FOV）大小敏感：FOV 变化（如扫描范围不同、背景增加）会导致 MI 值显著漂移，无法客观比较不同配准结果
2. NMI 对 FOV 和背景比例具有鲁棒性：通过除以联合熵，消除了重叠区域大小的影响，只反映两幅图像之间内在的统计相关性
3. 在实际配准中，浮动图像和固定图像的 FOV 几乎总是不同的（如不同被试者的脑部扫描覆盖范围不同），NMI 能提供稳定、可比的相似度度量

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题目 3：雅可比矩阵计算（PPT HW3）

题目（与 hw5 一致）：给定空间变换：

\[ \begin{cases} x' = \sin(x - 2y) \\ y' = \cos(x + y) \end{cases} \]

1. 计算雅可比矩阵
2. 计算雅可比行列式
3. 讨论在坐标 \((\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})\)、\((0, \frac{7\pi}{6})\)、\((\frac{5\pi}{6}, 0)\) 处的体积变化（膨胀/收缩/不变）

解答：

(1) 雅可比矩阵

雅可比矩阵由各分量对各自变量的偏导数组成：

\[ J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x'}{\partial x} & \frac{\partial x'}{\partial y} \\ \frac{\partial y'}{\partial x} & \frac{\partial y'}{\partial y} \end{bmatrix} \]

分别计算：

\[ \frac{\partial x'}{\partial x} = \cos(x - 2y) \cdot 1 = \cos(x - 2y) \]

\[ \frac{\partial x'}{\partial y} = \cos(x - 2y) \cdot (-2) = -2\cos(x - 2y) \]

\[ \frac{\partial y'}{\partial x} = -\sin(x + y) \cdot 1 = -\sin(x + y) \]

\[ \frac{\partial y'}{\partial y} = -\sin(x + y) \cdot 1 = -\sin(x + y) \]

因此：

\[ J = \begin{bmatrix} \cos(x - 2y) & -2\cos(x - 2y) \\ -\sin(x + y) & -\sin(x + y) \end{bmatrix} \]

(2) 雅可比行列式

\[ \begin{aligned} \det(J) &= \cos(x - 2y) \cdot [-\sin(x + y)] - [-2\cos(x - 2y)] \cdot [-\sin(x + y)] \\ &= -\cos(x - 2y)\sin(x + y) - 2\cos(x - 2y)\sin(x + y) \\ &= -3\cos(x - 2y)\sin(x + y) \end{aligned} \]

(3) 各坐标点的体积变化

局部体积变化由 \(|\det(J)|\) 决定：\(>1\) 膨胀，\(<1\) 收缩，\(=1\) 不变。

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① 坐标 \((\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})\)：

\[ x - 2y = \frac{\pi}{6} - 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6} \]

\[ x + y = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{3} \]

\[ \cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \det(J) = -3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -3 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{9}{4} \]

\[ |\det(J)| = \frac{9}{4} > 1 \implies \text{局部膨胀（Expansion）} \]

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② 坐标 \((0, \frac{7\pi}{6})\)：

\[ x - 2y = 0 - 2 \cdot \frac{7\pi}{6} = -\frac{7\pi}{3} \]

\[ x + y = 0 + \frac{7\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \]

\[ \cos\left(-\frac{7\pi}{3}\right) = \cos\frac{7\pi}{3} = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \]

\[ \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} \]

\[ \det(J) = -3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4} \]

\[ |\det(J)| = \frac{3}{4} < 1 \implies \text{局部收缩（Contraction）} \]

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③ 坐标 \((\frac{5\pi}{6}, 0)\)：

\[ x - 2y = \frac{5\pi}{6} - 0 = \frac{5\pi}{6} \]

\[ x + y = \frac{5\pi}{6} + 0 = \frac{5\pi}{6} \]

\[ \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \]

\[ \det(J) = -3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \]

\[ |\det(J)| = \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1.299 > 1 \implies \text{局部膨胀（Expansion）} \]

雅可比行列式的物理意义

\(\det(J) > 0\) 且 \(\neq 1\) 表示局部面积/体积缩放；\(\det(J) < 0\) 表示坐标方向发生了翻转（镜面反射），此时 \(|\det(J)|\) 表示面积缩放比。在微分同胚配准中要求 \(\det(J) > 0\) 处处成立（不可翻转）。以上三点的 \(\det(J)\) 均为正，说明此变换在这些局部区域保持了方向。

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实验

实验来源：LAB6（Project 1-3）

Project 1：相似度度量（Similarity Measure）

实验内容：手动实现 SSD、RIU、CC、MI 四种相似度指标，并在 T1w ↔ T1w（恒等）和 T1w ↔ T2w（跨模态）两种场景下验证。

实验原理：

1. SSD：\(\sum (I_1 - I_2)^2\)，仅适用于同模态
2. RIU：\(\sigma_R / \mu_R\)（\(R = I_1/I_2\)），比值图像变异系数
3. CC：Pearson 相关系数，适用于同模态线性差异
4. MI：\(H(I_1) + H(I_2) - H(I_1,I_2)\)，跨模态金标准

关键实现细节：

• 使用掩膜（Mask）排除背景噪声（阈值 \(>10\)）
• MI 通过 np.histogram2d 计算联合直方图，再转为联合概率分布
• 避免 \(\log 0\)：仅对 \(p(x,y) > 0\) 的位置求和

关键发现：

场景	SSD	RIU	CC	MI
T1w vs T1w（恒等）	0（完美）	0（完美）	1.00（完美）	最大（= 图像自身熵）
T1w vs T2w（跨模态）	极度膨胀（2.5亿+）	0.44（可用）	-0.11（接近零，无线性相关）	0.88（稳健）

结论：SSD 和 CC 在跨模态下失效，MI 是唯一在跨模态场景下保持稳定高值的指标。

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Project 2：刚性配准（Image Registration）

实验内容：手动实现最速下降法（Steepest Descent），分别用 SSD、RIU、CC 作为目标函数，完成 T1w → T1w（模内）和 T2w → T1w（模间）的刚性配准（恢复人为施加的旋转 15° + 平移 (10, -5)）。

实验原理：

1. 最速下降法：\(\theta_{new} = \theta_{old} - \alpha \cdot \frac{\nabla L}{\|\nabla L\|}\)（对梯度方向做归一化）
2. 数值梯度：中心差分法计算 \(\frac{\partial L}{\partial \theta} \approx \frac{L(\theta+\delta) - L(\theta-\delta)}{2\delta}\)
3. 学习率衰减：\(\alpha_{current} = \alpha_{initial} \times (1 - \frac{i}{N})\)，线性衰减防止震荡
4. 评估指标：Dice 系数衡量空间重叠程度

各指标的配准表现：

任务	指标	角度残差	平移残差	Dice 后
模内 T1w→T1w	SSD	0.01°	~2 px	0.989
模内 T1w→T1w	CC	0.01°	~2 px	0.989
模内 T1w→T1w	RIU	7.66°	发散	0.871
模间 T2w→T1w	SSD	3.17°	~3 px	0.988
模间 T2w→T1w	CC	7.11°	~3.5 px	被困局部极值
模间 T2w→T1w	RIU	11.17°	发散	0.888

关键结论：

• RIU 不可用于配准优化：背景零值和边界微小错位使比值图像剧烈波动
• SSD 在模间配准中「欺骗成功」：Dice 看起来高（0.988），但角度残差 3.17°——只是将脑轮廓推叠在一起，内部结构未对齐
• 基础 SGD 在 MI 下完全失效：离散 MI 的阶梯状曲面使梯度处处为零

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Project 2 Bonus：Powell 无梯度优化

改进策略：用 Powell 算法（无梯度方向集法）替代 SGD，并在模内用 SSD、模间用 MI。

Powell 算法原理：

• 不需要计算目标函数的导数
• 在一组共轭方向上独立进行一维线搜索
• 天生适合处理不平滑的目标函数（如 MI）

改进效果：

任务	方法	角度残差	Dice 后
模内	SSD + Powell	0.00°	0.989
模间	MI + Powell	0.28°	0.995

核心启示：算法选择必须契合目标函数的数学特性——不平滑的 MI 曲面需要无导数优化。

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Project 3：基于工具的配准（Tool-based Registration）

实验内容：使用 SimpleITK 工业级框架重构刚性配准任务，与 Project 2 的手动 SGD 进行全面对比。

实验原理——SimpleITK 的四大核心机制：

1. Mattes 互信息（Mattes MI）：用 B-spline 核密度估计使 MI 曲面连续可导，打破了传统离散 MI 无法用梯度下降的魔咒

2. 正则化步长梯度下降（Regular Step Gradient Descent）：梯度方向一致 → 维持步长；梯度方向反转（跨越极小值）→ 步长自动减半；无需手工调整学习率衰减

3. 多分辨率金字塔（Multi-resolution Pyramid）：ShrinkFactors = [4, 2, 1]：先 \(4\times\) 降采样粗配准 → \(2\times\) → 原始分辨率微调；粗分辨率上快速跨越局部极小值，细分辨率上精准收敛

4. 物理空间参数缩放（Physical Shift Scaling）：自动均衡角度（弧度量级）与平移（像素量级）的更新步长；解决了手动 SGD 无法处理参数量纲失衡的问题

对比结果：

任务	指标	手动 SGD 残差	SITK 残差
模内	SSD	0.01°, ~2 px	0.00°, ~0.02 px
模内	CC	0.01°, ~2 px	0.00°, ~0.02 px
模间	SSD	3.17°, ~3 px	3.28°, ~1.7 px
模间	CC	7.11°, ~3.5 px	7.24°, ~3 px

结论：

• 同模态：SITK 达到亚像素级精度，归功于参数缩放和多分辨率策略
• 跨模态：SSD/CC 的误差在 SITK 同样无法消除——问题在相似度指标的数学假设被破坏，而非优化器不够优秀

智能梯度下降 vs 手动 SGD

SimpleITK 的 Regular Step Gradient Descent 通过自适应步长和物理空间参数缩放两大机制，将手动 SGD 难以收敛的参数量纲问题、步长震荡问题彻底解决。但要完成跨模态配准，仍需在 Project 2 Bonus 中使用 MI + Powell 策略。

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历年卷解答

一、雅可比矩阵的计算依赖（2022 选择）

知识点定位：非线性配准 — 雅可比矩阵

题目："雅可比矩阵依靠什么计算？" 选项：二阶导 / 一阶导 / 偏导 / 其他

答案：偏导。

解释：雅可比矩阵的每个元素是变形场分量对空间坐标的偏导数，例如 \(\frac{\partial u_x}{\partial x}\)、\(\frac{\partial u_x}{\partial y}\) 等。它描述的是变形场在每个局部的空间变化率——既不是一阶全导数，也不是二阶导数。

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二、跨模态配准的相似度指标选择（2022 判断）

知识点定位：相似度度量 — MI vs CC

题目："对于 MRI T1 与 T2 两个模态的配准，使用相关系数（CC）是否比互信息（MI）更好。"

答案：错误。跨模态配准使用互信息（MI）更好。

解释：T1w 和 T2w 之间存在严重的组织对比度反转（如脑脊液在 T1 中是暗的，在 T2 中是亮的），两者灰度值之间不存在线性关系。CC 假设图像间存在线性关系，因此 CC 在跨模态下数值接近零（-0.11），无法指导配准。MI 基于联合概率分布而非灰度值本身，不依赖线性假设，是跨模态配准的黄金标准。

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三、配准流程与熵计算（2022 大题）

知识点定位：配准流水线 + 信息论

题目：

1. 画出配准流程图
2. 给定两个矩阵，分别计算熵 \(H(X) = -\sum p_i \log p_i\)
3. 计算联合直方图（数对应 \((x,y)\) 的数量）

解答：

(1) 配准流程图

核心三大步骤：

1. 定义变换类型（刚性/仿射/非线性）
2. 定义相似度指标（SSD/CC/MI）
3. 优化变换参数使相似度最大化

(2) 熵的计算示例

假设给矩阵 \(X = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\)，灰度值及频数为：\(p(1) = \frac{1}{4}\)，\(p(2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)，\(p(3) = \frac{1}{4}\)

\[ H(X) = -\frac{1}{4}\log\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\log\frac{1}{4} = \frac{1}{2}\log 4 + \frac{1}{2}\log 2 = \frac{3}{2}\log 2 \]

(3) 联合直方图的计算方法

对于两个相同大小的图像 \(X\) 和 \(Y\)：

1. 初始化一个 \(L \times L\) 的矩阵 \(H[i,j] = 0\)（\(L\) 为灰度级数）
2. 遍历所有像素位置 \((m,n)\)：\(H[X(m,n), Y(m,n)] \mathrel{+}= 1\)
3. 归一化得到联合概率：\(p(i,j) = H[i,j] / \sum_{i,j} H[i,j]\)

示例：

若 \(X = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\)，\(Y = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)

联合直方图 \(H\)：

• \((1,2)\)：\(X(0,0)=1, Y(0,0)=2\) + \(X(1,1)=1, Y(1,1)=2\) → 2 次

• \((2,1)\)：\(X(0,1)=2, Y(0,1)=1\) + \(X(1,0)=2, Y(1,0)=1\) → 2 次

\[ H = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}, \quad p = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 \\ 0 & 0.5 & 0 \end{bmatrix} \]

从中可计算 \(H(X,Y) = -0.5\log(0.5) - 0.5\log(0.5) = \log 2\)。

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四、Jacobian 行列式与体积变化（2021 判断 / 2020 判断）

知识点定位：非线性配准 — Jacobian 行列式

题目（2021 判断）："雅各比矩阵可用于体积变换分析。"

答案：正确。

题目（2020 判断）："可以利用雅可比矩阵计算配准后体积变化。"

答案：正确。

解释：雅可比行列式 \(\det(J)\) 衡量了配准变换在局部的体积缩放比例。\(\det(J) > 1\) 表示膨胀，\(\det(J) < 1\) 表示收缩，\(\det(J) = 1\) 表示体积不变。基于张量的形态测量（TBM）正是利用 Jacobian determinant 来检测脑组织的局部萎缩或膨胀。

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五、微分同胚变换的性质（2020 选择）

知识点定位：非线性配准 — 微分同胚变换

题目："微分同胚（diffeomorphic）的三个性质中，以下哪个不是？"

答案：选择那个不是微分同胚性质的选项。

微分同胚的三个性质：

1. 一一映射（One-to-one / Injective）：变换后无两点重叠
2. 可逆（Invertible / Surjective）：逆变换存在，覆盖整个目标空间
3. 光滑可微（Smooth / Differentiable）：变换函数和逆函数都连续可微

微分同胚要求同时满足一一映射 + 满射 + 光滑 + 光滑逆，确保在配准过程中不会出现折叠（folding）——即 \(\det(J) > 0\) 处处成立。

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六、仿射变换与双线性插值（2021 大题）

知识点定位：线性变换 + 插值

题目：给定图像和一种仿射变换操作（旋转 + 平移），要求：

1. 画出变换后的图像
2. 写出仿射变换矩阵
3. 用双线性插值计算变换后某一点的灰度值

解答要点：

(1) 仿射变换矩阵

对于先旋转 \(\theta\) 再平移 \((t_x, t_y)\) 的操作，变换矩阵为：

\[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & t_x \\ \sin\theta & \cos\theta & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} \]

(2) 双线性插值

当变换后的坐标 \((x', y')\) 落在非整数位置时，在 \(2 \times 2\) 邻域内进行线性加权：

\[ f(x', y') = (1-a)(1-b)f(0,0) + a(1-b)f(1,0) + (1-a)b f(0,1) + ab f(1,1) \]

其中 \(a = x' - \lfloor x' \rfloor\)，\(b = y' - \lfloor y' \rfloor\) 为小数部分。

注意

仿射变换矩阵的写法需要注意旋转中心：如果绕原点旋转再平移，矩阵如上；如果绕图像中心旋转，需要先将中心平移至原点，旋转后再平移回去。

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七、空间变换的可互换性（2020 大题）

知识点定位：线性变换 — 空间变换的复合

题目：对图像先做平移再做旋转（给定位移和角度），问：

1. 这个操作是否可以互换（先旋转再平移得到相同结果）？
2. 对于空间上某一个点，求其在平移+旋转得到的新坐标系下的坐标

解答要点：

(1) 旋转和平移不可互换

一般而言，旋转和平移的复合顺序不可交换：

• 先平移 \((t_x, t_y)\) 再旋转 \(\theta\)：\(p' = R(p + t)\)
• 先旋转 \(\theta\) 再平移 \((t_x, t_y)\)：\(p' = Rp + t\)

两式展开不同（\(Rt \neq t\) 除非旋转角度为 \(0\)），因此一般不可互换。

(2) 点的坐标变换

若先平移再旋转：

\[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} \]

先做平移的乘法，再左乘旋转矩阵即可得到最终坐标。

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八、不同分辨率图像的配准变换选择（2021 选择）

知识点定位：变换类型 — 多分辨率配准

题目："不同分辨率图像配准采用什么变换？"

答案：相似变换（Similarity Transformation） 或 仿射变换（Affine Transformation）。

解释：不同分辨率的图像之间除了位置和角度的差异，还存在尺度（缩放）的差异。刚性变换（6 自由度）无法处理缩放，因此至少需要相似变换（7 自由度，包含均匀缩放）或仿射变换（12 自由度，可处理各向异性缩放）。