第4章 图像频率域变换
一、傅里叶变换基础（Fourier Transform Basics）
1.1 从时域到频域
傅里叶变换的核心思想：将信号从时域/空间域变换到频率域，用不同频率的正弦/余弦波来"分解"原信号。
- 时域（Time Domain）：描述"何时发生" —— 信号随时间/空间的变化
- 频域（Frequency Domain）：描述"变化有多快" —— 信号包含哪些频率成分
对于连续函数 \(f(x)\)，傅里叶变换及其逆变换为：
其中 \(u\) 为频率变量，决定频率的高低。
1.2 经典变换对
| 空间域 | 频率域 | 含义 |
|---|---|---|
| 矩形函数（Rect/Box） | sinc 函数 | 空间域的截断 → 频域的无限振荡 |
| 脉冲串（Impulse Train） | 脉冲串（复制与移位） | 时域采样 → 频域周期延拓 |
Box → Sinc 的重要性
矩形窗的傅里叶变换是 sinc 函数。频率域的矩形截断（理想低通滤波器）对应空间域的 sinc 卷积核，其旁瓣会产生振铃效应（Ringing Effect）。
1.3 采样定理（Sampling Theorem）
对连续信号 \(f(t)\) 以间隔 \(\Delta T\) 采样，其频谱是原连续频谱以 \(1/\Delta T\) 为周期的无限重复。
奈奎斯特准则（Nyquist Criterion）：
即采样频率必须至少是信号最高频率的两倍，否则发生混叠（Aliasing）。
| 采样情况 | 条件 | 结果 |
|---|---|---|
| 过采样（Over-sampling） | \(\frac{1}{\Delta T} > 2\mu_{\max}\) | 频谱无重叠，可完美重建 |
| 临界采样（Critical） | \(\frac{1}{\Delta T} = 2\mu_{\max}\) | 刚好满足奈奎斯特条件 |
| 欠采样（Under-sampling） | \(\frac{1}{\Delta T} < 2\mu_{\max}\) | 频谱混叠，重建错误 |
混叠的本质
欠采样时，高频分量伪装成低频分量——频谱副本之间发生重叠，无法通过低通滤波分离。在图像中表现为摩尔纹（Moiré Pattern）或锯齿状边缘。
1.4 一维离散傅里叶变换（1D DFT）
实际信号是有限且离散的，使用 DFT：
逆变换 IDFT：
二、二维傅里叶变换（2-D Fourier Transform）
2.1 2-D 连续傅里叶变换
将一维 FT 扩展到二维：
- \(u\) 和 \(v\) 分别为 \(x\) 和 \(y\) 方向的频率变量
- 2-D FT 可以理解为：先沿一个方向做 1-D FT，再沿另一个方向做 1-D FT
2.2 K 空间（K-space）与医学图像
在医学成像中，频率域有特殊名称：
- 空间域（Spatial Domain）：\(x\)，通常以像素为单位
- 频率域（Frequency Domain）：可用角频率 \(\omega\)（弧度/单位距离）或旋转频率 \(f\)（周期/单位距离）表示，\(\omega = 2\pi f\)
K 空间
MRI 中的 K 空间（K-space）就是 MR 图像的傅里叶变换域。K 空间的中心对应低频（图像的整体对比度），外围对应高频（图像的细节和边缘）。
2.3 二维离散傅里叶变换（2-D DFT）
对于大小 \(M \times N\) 的图像 \(f(x,y)\)：
其中 \(u = 0, 1, \ldots, M-1\)，\(v = 0, 1, \ldots, N-1\)。
2.4 二维采样定理
二维奈奎斯特准则同时约束两个方向：
三、二维 DFT 的性质（Properties of 2-D DFT）
3.1 零频率项（DC Component）
在 \((u, v) = (0, 0)\) 处：
即 \(F(0,0)\) 是图像的平均值，也称为频谱的直流分量（DC Component）。
3.2 周期性（Periodicity）
DFT 假设图像在两个方向上无限周期重复。这意味着图像左右边界和上下边界是相连的——这个性质直接导致了频率域滤波中必须零填充（Zero-padding）来避免 wraparound error。
3.3 分配律与缩放性（Distributivity and Scaling）
分配律：
注意：一般情况下 \(\mathcal{F}\{f_1 \cdot f_2\} \neq \mathcal{F}\{f_1\} \cdot \mathcal{F}\{f_2\}\)（时域相乘 ≠ 频域相乘）。
缩放性：对于标量 \(a, b\)：
空间域压缩 → 频率域展宽；空间域展宽 → 频率域压缩。
3.4 平移性质（Shifting）
空间域平移 → 频率域相位变化：
频率域平移（更重要）——用于将 DC 分量移到中心：
关键应用——频谱中心化：令 \(u_0 = M/2, v_0 = N/2\)：
为什么要乘以 \((-1)^{x+y}\)
因为 \(e^{j\pi(x+y)} = (-1)^{x+y}\)，这个操作将 DC 分量从四角移到频谱中心，便于观察和分析。这是 DFT 可视化的标准预处理步骤。
3.5 旋转性质（Rotation）
引入极坐标 \(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta\) 和 \(u = \omega\cos\phi, v = \omega\sin\phi\)：
即空间域旋转 \(\theta_0\) → 频率域也旋转相同角度 \(\theta_0\)。
3.6 可分离性（Separability）
2-D DFT 可分解为两次 1-D DFT：
即：先对每一行做 1-D DFT，再对结果的每一列做 1-D DFT（或先列后行，结果相同）。
3.7 空间采样间隔与频率间隔的关系
设 \(\Delta x, \Delta y\) 为空间域采样间隔，\(\Delta u, \Delta v\) 为频率域采样间隔：
物理含义：FOV（视场）= \(M \cdot \Delta x\)，频率分辨率 \(\Delta k = 1/\text{FOV}\)。
| 参数 | 关系 |
|---|---|
| 像素宽度 \(\Delta x\) | 决定 k 空间范围：\(\Delta x = 1/k_{\text{FOV}}\) |
| FOV | 决定 k 空间采样间隔：\(\Delta k = 1/\text{FOV}\) |
3.8 共轭对称性（Conjugate Symmetry）
若 \(f(x,y)\) 为实数（自然图像总是实数），则：
且幅度谱对称：
共轭对称的意义
k 空间中有一半是冗余的——只需采集约一半的 k 空间数据，另一半可通过共轭对称推导。这能减少 MRI 扫描时间，是 Partial Fourier 技术的理论基础。
3.9 卷积定理（Convolution Theorem）
空间域卷积 ⇔ 频率域乘积：
空间域乘积 ⇔ 频率域卷积：
计算效率的启示：
| 域 | 操作 | 时间复杂度 |
|---|---|---|
| 空间域 | 直接卷积 | \(O(M^2 K^2)\) |
| 频率域 | FFT + 乘法 + IFFT | \(O(M^2 \log M)\) |
什么时候用频率域滤波
当卷积核尺寸 \(K\) 较大时（如 \(\sigma\) 很大的高斯核），频率域滤波（FFT）比空间域直接卷积快得多。但小核（\(3 \times 3\)）在空间域直接做更快。
3.10 性质汇总
| 性质 | 空间域 | 频率域 |
|---|---|---|
| DC 分量 | — | \(F(0,0) = \text{mean}(f)\) |
| 周期性 | \(f(x+M, y) = f(x, y)\) | \(F(u+M, v) = F(u, v)\) |
| 分配律 | — | \(\mathcal{F}\{f_1+f_2\} = \mathcal{F}\{f_1\} + \mathcal{F}\{f_2\}\) |
| 缩放 | \(f(ax, by)\) | \(\frac{1}{\lvert ab \lvert}F(u/a, v/b)\) |
| 平移 | \(f(x-x_0, y-y_0)\) | \(F(u,v) e^{-j2\pi(\frac{ux_0}{M}+\frac{vy_0}{N})}\) |
| 中心化 | \(f(x,y)(-1)^{x+y}\) | \(F(u-M/2, v-N/2)\) |
| 旋转 | \(f(r, \theta+\theta_0)\) | \(F(\omega, \phi+\theta_0)\) |
| 可分离性 | — | 2-D DFT = 两次 1-D DFT |
| 共轭对称 | \(f\) 为实数 | \(F(u,v) = F^*(-u, -v)\) |
| 卷积定理 | \(f * h\) | \(F \cdot H\) |
四、快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform — FFT）
4.1 直接 DFT 的计算量
对于 \(M \times M\) 图像（如 \(2048 \times 2048\)）：
- 直接 DFT：\(\sim 17\) 万亿次运算
- FFT：\(\sim 9200\) 万次运算
计算优势：\(C(M) = \frac{M^2}{M\log_2 M} = \frac{M}{\log_2 M}\)
4.2 FFT 的基本思想：逐次倍分法（Successive-Doubling）
假设 \(M = 2^n\)。记 \(W_M = e^{-j2\pi/M}\)，则 DFT 写为：
将序列按奇偶索引拆分为两部分（\(M = 2K\)）：
一个 M 点 DFT = 两个 M/2 点 DFT + 组合。递归下去，复杂度从 \(O(M^2)\) 降为 \(O(M\log_2 M)\)。
| \(n\)（\(M=2^n\)） | 计算优势 \(C(M)\) |
|---|---|
| \(n=3\)（\(M=8\)） | \(\approx 2.7\) |
| \(n=8\)（\(M=256\)） | \(32\) |
| \(n=10\)（\(M=1024\)） | \(\approx 102\) |
| \(n=11\)（\(M=2048\)） | \(\approx 186\) |
2D FFT
2-D FFT = 先对每行做 1-D FFT + 再对每列做 1-D FFT。利用可分离性，两次调用 1-D FFT 即可。
五、小波变换（Wavelet Transform，应该不考大题）
5.1 为什么需要小波变换
傅里叶变换的局限：
- 正弦/余弦基函数在时域是无限长的——没有时间定位能力
- 傅里叶变换只能回答"信号中有哪些频率"，无法回答"这些频率在何时出现"
- 大多数实际信号是非平稳的（频率成分随时间变化）
短时傅里叶变换（STFT）：对信号加时间窗分段做 FT。但窗的大小固定，无法同时兼顾时间分辨率和频率分辨率。
小波变换的核心优势：同时提供时间和频率信息，且具有多分辨率分析能力。
| 傅里叶变换 | 短时傅里叶变换 | 小波变换 | |
|---|---|---|---|
| 基函数 | 正弦/余弦（无限长） | 加窗正弦 | 小波（有限长） |
| 频率信息 | 有 | 有 | 有 |
| 时间信息 | 无 | 固定分辨率 | 可变分辨率 |
| 多分辨率 | 无 | 无 | 有 |
5.2 多分辨率分析（Multiresolution Analysis）
当图像中同时存在大物体和小物体、或高对比度和低对比度区域时，单一分辨率难以处理。
图像金字塔（Image Pyramids）：
- 金字塔从底层（最高分辨率）向顶层（最低分辨率）逐层下采样
- 低分辨率层把握整体结构，高分辨率层关注细节
5.3 一维小波变换（1D Wavelet Transform）
（1）连续小波变换（CWT）
定义母小波（Mother Wavelet） \(\psi(x)\)，满足：
- 带限（band-limited）
- DC 分量为 0：\(\int \psi(x)dx = 0\)
通过缩放（Scaling）和平移（Shifting）生成子小波：
- \(s\)（尺度）：控制频率——\(s\) 大 → 低频（拉伸）；\(s\) 小 → 高频（压缩）
- \(\tau\)（平移）：控制时间位置
CWT 定义：
小波系数 \(W_\psi(s, \tau)\) 衡量信号与小波基在特定尺度和位置上的相关性。
逆变换：
（2）离散小波变换（DWT）
取 \(s = 2^{-j}, \tau = k \cdot 2^{-j}\)：
DWT 将信号分解为：
- 近似系数（Approximation Coefficients） \(W_\varphi(j_0, k)\)：由尺度函数（Scaling Function / Father Wavelet）获得，DC ≠ 0，对应低频（信号的"骨架"）
- 细节系数（Detail Coefficients） \(W_\psi(j, k)\)：由小波函数（Mother Wavelet）获得，DC = 0，对应高频（信号的"纹理"）
尺度函数 vs 小波函数
- 尺度函数（Father Wavelet）：积分不为零 → 提取近似/平滑分量（低频）
- 小波函数（Mother Wavelet）：积分为零 → 提取细节/差分分量（高频）
- 两者配合实现信号的完整分解和重建
逆变换：
（3）小波谱 vs 傅里叶谱
| 傅里叶谱 | 小波谱 | |
|---|---|---|
| 横轴/纵轴 | 仅频率（u） | 时间（\(\tau\)）× 尺度（\(s\)，=频率的倒数） |
| 显示信息 | 信号包含哪些频率 | 每个频率在何时出现 |
5.4 二维小波变换
二维情况下需要：
- 1 个二维尺度函数：\(\varphi(x, y)\)
- 3 个二维小波函数（分别检测不同方向的细节）：
- \(\psi^H(x, y)\)：水平方向细节
- \(\psi^V(x, y)\)：垂直方向细节
- \(\psi^D(x, y)\)：对角方向细节
每次 2-D DWT 分解产生 4 个子带：LL（低频近似）、LH（水平细节）、HL（垂直细节）、HH（对角细节）。
5.5 小波变换的应用
- 边缘检测：对图像做 DWT → 将近似系数 LL 置零 → 逆 DWT。结果仅保留高频细节（边缘），抑制了低频背景
- 图像去噪：对图像做 DWT → 对细节系数进行阈值处理（软阈值/硬阈值）→ 逆 DWT。小波去噪保留边缘的能力优于傅里叶低通滤波
六、本章总结（Summary）
傅里叶变换核心脉络
- 傅里叶级数 → 傅里叶变换（连续、非周期）→ DFT（离散、有限）
- 采样定理：\(\frac{1}{\Delta T} \geq 2\mu_{\max}\)，不满足则混叠
- 2-D DFT：图像→频谱，先对列后对行（或反之）
2-D DFT 核心性质速览
| 性质 | 核心公式/含义 |
|---|---|
| DC | \(F(0,0) =\) 图像均值 |
| 周期 | \(F(u+M, v) = F(u, v)\) |
| 中心化 | 乘 \((-1)^{x+y}\) → DC 移到中心 |
| 旋转 | 空域旋转 → 频域同步旋转 |
| 卷积定理 | \(f * h \Leftrightarrow F \cdot H\) |
| 共轭对称 | 实数图像的 DFT 关于原点共轭对称 |
| 可分离 | 2-D DFT → 两次 1-D DFT |
FFT
- 逐次倍分：M 点 DFT → 2 个 M/2 点 DFT
- 复杂度：\(O(M^2) \to O(M\log_2 M)\)
小波变换
- 多分辨率分析：同时观察大尺度和小尺度结构
- 母小波 + 尺度函数：前者提取高频细节，后者提取低频近似
- 应用：边缘检测（抑制近似系数）、去噪（阈值化细节系数）
课后作业
hw2 — Problem 1：DFT 中心化的数学证明
知识点定位：2-D DFT 性质 — 平移/中心化
题目：
- 对 \(M \times N\) 图像 \(f(x,y)\)，证明乘以 \((-1)^{x+y}\) 再做 DFT，DC 分量将移动到频谱中心 \([M/2, N/2]\)
- 如果改为乘以 \((-1)^x\)，频谱会如何变化？
解答：
(1) 乘 \((-1)^{x+y}\) 的证明：
因此 DC 分量在频域平移到中心 \([M/2, N/2]\)。
(2) 只乘 \((-1)^x\)：
仅 \(u\) 轴平移 \(M/2\) 个单位，频域中心为 \((M/2, 0)\) 而非 \((M/2, N/2)\)。
hw2 — Problem 2：幅度反转与逆 DFT
知识点定位：2-D DFT — 中心化 + 逆变换
题目：图像经过 (a) DFT + 中心化 → (b) 幅度取反 → (c) 逆 DFT 后，原黑色区域变白色。请数学解释。
解答：
(a) 操作相当于 \(f'(x,y) = f(x,y) \cdot (-1)^{x+y}\)，再做 DFT 得 \(F'(u,v)\)
(b) \(F''(u,v) = -F'(u,v)\)
(c) 逆 DFT（一般会再乘一次 \((-1)^{x+y}\)）：
因此最终图像呈现为灰度反转——黑色变白色，白色变黑色。
hw2 — Problem 3：共轭对称性与奈奎斯特采样
知识点定位：2-D DFT 性质 — 共轭对称；采样定理
题目：
- 证明实数图像 \(f(x,y)\) 的 DFT 满足 \(F(u,v) = F^*(-u, -v)\)
- 已知 \(\text{FOV}_x = \text{FOV}_y = 240\text{mm}\)，\(\max(k_x) = \max(k_y) = 120\text{ rad/m}\)，计算奈奎斯特全采样所需总像素数
- 利用共轭对称性，计算最少所需采样像素数
解答：
(1) 共轭对称性证明：
由于 \(f\) 为实数，\(f^*(x,y) = f(x,y)\)。
(2) 奈奎斯特全采样计算：
k 空间采样间隔：\(\Delta k_x = \frac{2\pi}{\text{FOV}_x}\)，\(\Delta k_y = \frac{2\pi}{\text{FOV}_y}\)
各方向所需采样点数：
代入数据（\(\text{FOV} = 0.24\text{m}\)，\(\max(k) = 120\text{ rad/m}\)）：
全采样总像素数：
(3) 利用共轭对称的最少采样数：
实数图像的 k 空间有一半是冗余的。理论上只需采集约一半：
实验（LAB3 — 频率域滤波与傅里叶变换应用）
实验 1：频率域低通滤波与振铃效应
实验内容：使用 MRI 数据，在频率域分别实现理想低通、巴特沃斯低通（\(n=6\)）和高斯低通三种滤波器（截止频率 \(D_0=30\)），通过 FFT → 频域乘积 → IFFT 的标准流程进行图像平滑，重点观察振铃效应的产生与差异。
实验步骤：
- 对图像做 2-D FFT，
fftshift将 DC 分量移至频谱中心 - 在频域分别构建三种传递函数 \(H(u,v)\)：
- 理想低通：\(H = \begin{cases} 1 & D \leq D_0 \\ 0 & D > D_0 \end{cases}\)
- 巴特沃斯（\(n=6\)）：\(H = \frac{1}{1 + (D/D_0)^{2n}}\)
- 高斯：\(H = e^{-D^2/(2D_0^2)}\)
- 将频谱与 \(H(u,v)\) 逐元素相乘 →
ifftshift→ IFFT → 取实部
涉及原理：
- Box → Sinc 变换对：理想低通在频率域的矩形截断 \(\xrightarrow{\text{IFT}}\) 空间域的 sinc 卷积核（无限振荡旁瓣） → 图像边缘产生同心明暗光环（振铃效应）。这是傅里叶变换经典变换对在图像处理中的直接体现
- 高斯滤波器无振铃：高斯函数的傅里叶逆变换仍是高斯函数，无旁瓣 → 零振铃
- 巴特沃斯作为折中：\(n\) 越大过渡越陡、越接近理想（振铃越明显）；\(n\) 有限时可在截断锐度和振铃抑制之间定量平衡
实验 2：空间域与频率域滤波的等价性验证
实验内容：分别用空间域直接卷积和频率域 FFT 乘积两种方式实现高斯低通/高通滤波，验证卷积定理。同时对比 4-邻域/8-邻域 Laplacian 高通与高斯高通的边缘提取效果差异。
实验步骤：
- 生成 \(\sigma=3\) 的高斯空间核，在空间域用
convolve2d直接卷积 → 低通结果；高通 = 原图 − 低通 - 将同一高斯核零填充 + 循环位移后进行 FFT，在频率域与图像频谱相乘 → IFFT → 频率域低通结果，比较两种方式
- 使用 4-邻域 Laplacian \(\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&4&-1\\0&-1&0\end{bmatrix}\) 和 8-邻域 Laplacian \(\begin{bmatrix}-1&-1&-1\\-1&8&-1\\-1&-1&-1\end{bmatrix}\) 在空间域卷积提取边缘
涉及原理：
- 卷积定理的工程验证：空间域直接卷积与频率域（核 FFT × 图像 FFT → IFFT）结果几乎完全一致，验证 \(f*h \Leftrightarrow F \cdot H\) 精确成立
- 计算效率的选择：小核（\(3 \times 3\)）空间域直接做更快；大核（\(\sigma\) 很大时）频率域 \(O(N\log N)\) 更高效——DFT 的可分离性和 FFT 是其计算优势的根基
- 高斯高通 vs Laplacian：高斯高通提取的边缘柔和自然（利用空间域减法的线性性质）；Laplacian 作为二阶微分对高频极其敏感，能提取更锐利边缘但会同步放大噪声（印证二阶微分对噪声敏感的理论特性）
实验 3：陷波滤波器消除周期性噪声
实验内容：对带有斜向条纹噪声的 MRI 数据，在频域幅度谱中定位噪声对应的对称亮斑坐标，使用巴特沃斯陷波滤波器精确阻断这些频率后 IFFT 还原，直接应用 DFT 的共轭对称性（噪声亮斑总是成对出现）。
实验步骤：
- 对带噪图像做 FFT → 计算对数幅度谱 \(\log(1+|F|)\) → 可视定位噪声亮斑的 \((u_0, v_0)\) 及对称点 \((-u_0, -v_0)\)
- 对每对噪声点构建巴特沃斯带阻传递函数：\(H_k = \frac{1}{1+(D_0/D_k)^{2n}} \cdot \frac{1}{1+(D_0/D_{-k})^{2n}}\)，所有 \(H_k\) 逐对相乘得到整体陷波滤波器
- 频域应用滤波器 → IFFT → 取实部
涉及原理：
- 周期性噪声的 DFT 特征：空间域正弦型条纹 \(\xrightarrow{\text{DFT}}\) 频率域以原点对称的一对孤立尖峰（基频 + 各次谐波）——这是 DFT 对正弦信号的直接响应
- DFT 共轭对称性的应用：实数图像的 \(F(u,v) = F^*(-u, -v)\) → 噪声亮斑必然成对出现，设计滤波器时必须同时阻断对称点，否则去噪不完整
- 选巴特沃斯而非理想陷波：避免频域硬截断引入空间域 sinc 旁瓣振铃——与实验 1 的振铃原理形成对照
- 去噪不完全的可能原因：中心频率定位偏差、阻带半径 \(D_0\) 失配（过大误伤有效高频、过小残留噪声能量）、高次谐波遗漏
历年卷解答
一、多分辨率分析是小波变换的应用之一（2022 判断）
知识点定位：小波变换 — 多分辨率分析
答案：正确。
解释：小波变换通过缩放和平移母小波，天然支持在不同尺度（分辨率）上分析信号的局部特征。图像金字塔是小波多分辨率分析的直观体现。
二、傅里叶变换 vs 小波变换（2021 选择）
知识点定位：傅里叶变换 vs 小波变换对比
关键区别：
| 傅里叶变换 | 小波变换 | |
|---|---|---|
| 基函数 | 正弦/余弦波（无限长） | 小波（有限长、局部化） |
| 频率信息 | 精确 | 精确 |
| 时间/空间定位 | 无法定位 | 可定位 |
| 多分辨率 | 无 | 能实现 |
| 适合信号 | 平稳信号 | 非平稳信号（实际信号大多数是非平稳的） |
三、频域对称性（2021 判断）
知识点定位：2-D DFT 性质 — 共轭对称
判断内容："频域对称就是在频域上水平方向和竖直方向对称"
答案：错误。
解释：对于实数图像，频域的对称性是关于原点（中心）的共轭对称，即 \(F(u,v) = F^*(-u, -v)\)。这意味着幅度谱关于原点呈中心对称（旋转 180° 后重合），而非简单的水平或竖直轴对称。
四、时域卷积核对应的频域卷积核（2020 选择）
知识点定位：2-D DFT 性质 — 卷积定理；高通滤波器的频域表示
题目：空间域卷积核 \(f(x,y) - f(x+1,y) - f(x,y+1)\) 对应什么频域核？
分析：该空间核是一个高通滤波器（差分操作）。根据卷积定理，空间域差分 \(\leftrightarrow\) 频率域乘以相应的高通传递函数。
核矩阵形式为 \([1, -1; -1, 0]\)（对中心像素），在频率域对应 \(1 - e^{j2\pi u/M} - e^{j2\pi v/N}\)。
思路提示
此类题目的解题关键：将空间域的差分表达式转换为频率域的代数表达式（利用 DFT 的平移性质）。
五、DFT 频谱中心化的步骤（历年常考）
知识点定位：2-D DFT 性质 — 平移/中心化
标准步骤：
- 对原图 \(f(x,y)\) 乘以 \((-1)^{x+y}\)（将 DC 分量预移到中心位置）
- 进行 2-D DFT
- 此时 \(F(0,0)\)（DC 分量）已在频谱中心 \([M/2, N/2]\)
等价操作：先 DFT 得到四角亮斑的频谱，再用 fftshift 将四个角的低频汇集到中心。
为什么要中心化？ 原始 DFT 频谱的四角是低频（包括 DC），中心反而是高频——不符合直觉。中心化后低频在中心、高频在外围，便于观察和处理。