第12章 多水平模型
1. 概述与适用场景
为什么需要多水平模型？
传统的线性回归模型（OLS）有一个重要的前提假设：观测个体之间相互独立。 但在实际医学与社会科学研究中，数据往往呈现层次结构 (Hierarchical Structure) 或 嵌套结构 (Nested Structure)，导致个体间不独立：
- 空间/组织嵌套：学生嵌套在班级中，班级嵌套在学校中；病人嵌套在医院中。
- 时间/重复测量嵌套：同一个体在不同时间点的多次测量（如儿童生长发育），由于源自同一人，数据具有相关性。
如果忽略这种层次结构，强行使用传统回归，会导致：
-
标准误 (Standard Error) 被错误低估。
-
统计推断失效（假阳性增加）。
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辛普森悖论 (Simpson's Paradox)：部分组别的趋势在合并后消失甚至反转。
数据结构定义
- 水平 1 (Level-1)：低水平单位，如“个体”、“学生”、“孕产妇”。
- 水平 2 (Level-2)：高水平单位，如“区县”、“班级”、“医院”。
例题：多水平模型的数据类型
多水平模型主要用于处理什么类型的数据？
A. 独立数据
B. 嵌套数据
C. 时间序列数据
D. 横截面数据
E. B和C均可
解析：多水平模型既适用于空间上的嵌套数据（如学生在班级），也适用于个体内部重复测量的时间序列数据（即重复测量资料）。选 E。
例题：层次结构的判定
在一个研究学生学业成绩的多水平模型中，以下哪个变量最适合作为第二水平 (Level-2) 的单位？
A. 学生的学习时间
B. 学生的性别
C. 学生所在的班级
D. 学生的期末考试分数
解析：Level-2 是容纳个体的容器（组别）。学习时间、性别、分数都是学生（Level-1）的特征，而班级是学生归属的组别。选 C。
2. 随机截距模型
核心思想
假设不同组别（Level-2）的截距（Baseline）不同，但自变量对因变量的影响（斜率）在各组间是相同的（平行的）。即模型允许不同群体有自己的起点。
模型公式
-
零模型 (Null Model)：不含任何自变量，仅用于拆分方差。 $$ y_{ij} = \beta_{0j} + e_{ij} $$
\[ \beta_{0j} = \beta_0 + u_{0j} \]合并后： $$ y_{ij} = \beta_0 + u_{0j} + e_{ij} $$
- \(y_{ij}\)：第 \(j\) 个组中第 \(i\) 个个体的观测值。
- \(\beta_0\)：固定截距（所有组的平均截距）。
- \(u_{0j}\)：随机截距（第 \(j\) 个组的截距与平均截距的偏差），服从 \(N(0, \sigma^2_{u0})\)。
- \(e_{ij}\)：残差（个体层面的误差），服从 \(N(0, \sigma^2_{e})\)。
组内相关系数 (ICC)
用于衡量组间差异占总变异的比例，判断是否有必要使用多水平模型。
- 含义：因变量的总变异中，可以由组间差异解释的比例，组间方差与总方差之比。
- 判断标准：
- \(ICC < 0.059\)：组内相关性低，可考虑传统回归。
- \(ICC > 0.059\)：组内相关性不可忽略，应使用多水平模型。
例题：ICC的含义
在多水平模型中，组内相关系数 (ICC) 反映了什么？
A. 因变量的总变异中可以由组间差异解释的比例
B. 自变量与因变量之间的相关程度
C. 模型中随机效应的显著性水平
D. 第一水平残差与第二水平残差的相关性
解析：ICC定义即为组间方差与总方差之比，反映了组间的异质性或组内的同质性。选 A。
例题：多水平模型的优势
与传统的普通最小二乘法 (OLS) 回归相比，多水平模型的主要优势在于？
A. 对样本量的要求更低
B. 计算过程更为简单快捷
C. 能更准确地处理嵌套数据中的非独立性问题
D. 对变量的分布假设更少
解析：OLS假设独立，而嵌套数据不独立。多水平模型正是为了解决这一非独立性问题。选 C。
假设检验
Wald检验
似然比检验
置信区间
加入自变量的随机截距模型
- \(\beta_1\) 是固定斜率：表示 \(x\) 每增加1单位，\(y\) 平均改变的量，这对所有组都是一样的。
- \(u_{0j}\) 使得不同组有不同的起始水平（截距）。
例题：随机截距模型的理解
关于随机截距模型，以下哪个表述是正确的？
A. 模型中所有预测变量的效应都随组别变化
B. 允许不同组别在因变量上有不同的基线水平，每个组的截距是来自一个分布的随机变量
C. 模型的截距对于所有组别都是固定的
D. 主要用于分析时间序列数据的趋势
解析：随机截距模型的核心就是“截距随机，斜率固定”。A描述的是随机斜率，C描述的是OLS固定效应。B准确描述了允许不同组别有不同基线（截距）。选 B。
3. 随机斜率模型
核心思想
不仅各组的截距不同，自变量对因变量的影响（斜率）在不同组别之间也是不同的。
- 例如：住院天数对费用的影响，在不同区县（有的区县医疗贵，有的便宜）可能增加的幅度不同。
模型公式
其中斜率也是随机的： \(\beta_{1j} = \beta_1 + u_{1j}\) 合并后得到混合模型方程： $$ y_{ij} = (\beta_0 + \beta_1 x_{ij}) + (u_{1j} x_{ij} + u_{0j} + e_{ij}) $$
- 固定部分：\(\beta_0 + \beta_1 x_{ij}\)（总体平均趋势）。
- 随机部分：\(u_{1j} x_{ij} + u_{0j} + e_{ij}\)（组特有的偏差）。
- \(u_{1j}\)：第 \(j\) 个组的斜率与平均斜率 \(\beta_1\) 的差值。
模型的比较与选择
- 假设检验：检验随机斜率的方差 \(\sigma^2_{u1}\) 是否显著。如果不显著，说明各组斜率相同，应退回到随机截距模型。
- 比较指标：
- -2 对数似然值 (-2 Log Likelihood)：值越小越好。
- 似然比检验 (LRT)：计算 \(G = (-2LL_{model A}) - (-2LL_{model B})\)，服从 \(\chi^2\) 分布。
- AIC / BIC：信息准则，越小越好。
例题：随机斜率的意义
一个研究不同疗法对病人康复效果的模型，将病人作为第一水平，医院作为第二水平。如果模型设定为随机斜率模型，这意味着什么？
A. 所有医院的病人都具有相同的初始康复水平
B. 不同疗法的效果在所有医院中是完全相同的
C. 病人的康复效果与疗法无关
D. 疗法的效果可能因医院而异
解析：随机斜率意味着自变量（疗法）的系数（效果）在不同组别（医院）间是变化的。选 D。
例题：斜率方差的解释
假设你正在研究员工满意度 (Y) 与工作自主权 (X) 的关系，数据来自多个不同的公司。你构建了一个随机截距和随机斜率模型。结果显示斜率的方差显著，这意味着？
A. 所有公司的员工都具有相同的平均满意度
B. 工作自主权对员工满意度的影响在不同公司间存在差异
C. 工作自主权不是一个显著的预测变量
D. 该模型不适合分析此数据
解析：斜率方差显著 \(\Rightarrow\) 斜率不是固定的 \(\Rightarrow\) X对Y的影响力在不同组间不同。选 B。
例题：模型比较
在比较一个仅包含随机截距的模型 (模型A) 和一个同时包含随机截距与随机斜率的模型 (模型B) 时，以下哪项通常不作为选择模型B优于模型A的直接依据？
A. 模型B的样本量更大
B. 模型B的-2对数似然值 (-2 Log Likelihood) 显著更小
C. 似然比检验 (LRT) 结果显著
D. 模型B的信息准则 (如AIC或BIC) 更低
解析：模型比较是在同一组数据上进行的，样本量（A）在两个模型中是一样的，不是比较依据。B、C、D都是标准的模型拟合优度评价指标。选 A。
4. 总结：三种模型的对比
| 特征 | 普通线性回归 (OLS) | 随机截距模型 | 随机斜率模型 |
|---|---|---|---|
| 截距 \(\beta_0\) | 固定 (所有组相同) | 随机 (各组有自己的截距) | 随机 (各组有自己的截距) |
| 斜率 \(\beta_1\) | 固定 (所有组相同) | 固定 (所有组平行) | 随机 (各组斜率不同) |
| 方差结构 | 仅考虑个体残差 | 分解为组间与组内方差 | 复杂的方差-协方差结构 |
| 适用性 | 独立数据 | 组间基线不同，效应相同 | 组间基线不同，效应也不同 |
| 图形示意 | 一条直线 | 一组平行线 | 一组相交线 (截距斜率均不同) |
跨级交互作用
在随机斜率模型中，可以进一步引入 Level-2 的变量来解释斜率为什么变化。 * 例如：在模型中纳入“住院天数 \(\times\) 区县类型”的交互项，查看区县类型（Level-2特征）是否修正了住院天数（Level-1自变量）对费用的影响。