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第10章 滤波器设计

1.滤波器（Filter）基本知识

定义

滤波器：一种特别重要的线性时不变系统

选频滤波器：对信号的频率成分进行选择（通过或拒绝）的系统

滤波器的广义定义：能对某些频率进行修正的系统

分类

低通滤波器(Low-pass)

高通滤波器(High-pass)

带通滤波器(Band-pass)

带阻滤波器(Band-stop)

全通滤波器(All-pass)

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判断可看半谱

数字滤波器判断

以\((-\pi,\pi)\)为例，\(|\Omega|\)越接近\(\pi\)，为高频；\(|\Omega|\)越接近0，为低频

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判断DTFT的滤波器，主要看\((-\pi,\pi)\)的区域，若为\((0,2\pi)\)，建议将\((\pi,2\pi)\)的段对称到\((-\pi,0)\)

2.离散傅里叶变换 DFT

理想滤波器的问题

理想滤波器时域无限长，为非因果的，实际上无法实现，因此要引入平缓的过渡带

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具体的滤波器设计：确定符合频率指标要求的系统函数（频率响应、脉冲响应）

IIR滤波器和FIR滤波器

有限脉冲响应和无限脉冲响应。

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在FIR系统中，\(h[n]=b_n\)​

特性维度 IIR (Infinite Impulse Response) FIR (Finite Impulse Response)
反馈机制 有反馈 (With feedback)，即表达式中包含 \(y[n-i]\) 项 无反馈 (No feedback)，即表达式中不含 \(y[n-i]\) 项
系数特点 至少有一个系数 \(a_i \neq 0\) 所有系数 \(a_i = 0\)
极点分布 Z 平面内存在极点 (Poles in z-plane) Z 平面内无极点 (No poles in z-plane)
冲激响应 \(h[n]\) 无限长 (Infinite) 有限长 (Finite，例如长度为 \(M+1\))
结构类型 递归型 (Recursive) 非递归型 (Non-recursive)
相位特性 通常是非线性相位滤波器 (Generally a nonlinear phase filter) 可以设计为线性相位滤波器 (Can be designed as a linear phase filter)

2. IIR 滤波器设计

IIR 设计的核心逻辑：借用模拟滤波器的成熟理论。我们不直接设计 \(H(z)\)，而是先设计一个模拟滤波器 \(H_a(s)\)，再把它“映射”到数字域。

模拟滤波器原型 (Analog Filter Prototypes)

  1. 巴特沃兹滤波器 (Butterworth)：
    • 特点：通带和阻带都非常平稳（最大平坦），没有波动。
    • 代价：过渡带很宽，想达到同样的滤波效果，需要更高的阶数。
  2. 切比雪夫滤波器 (Chebyshev)：
    • I 型：通带有纹波（波动），阻带平滑。
    • II 型：通带平滑，阻带有纹波。
    • 特点：比巴特沃兹更锐利（过渡带窄）。
  3. 椭圆滤波器 (Elliptic)：
    • 特点：通带阻带都有纹波。
    • 评价：它是最“高效”的，同样的指标下阶数最低。
特性指标 巴特沃兹 (Butterworth) 切比雪夫 (Chebyshev) 椭圆滤波器 (Elliptic)
通带/阻带表现 最大平坦 通带和阻带均无纹波，非常平稳。 有纹波 I型：通带波纹，阻带平滑 II型：通带平滑，阻带波纹 均有纹波 通带和阻带内均存在纹波。
过渡带特性 很宽 衰减缓慢，过渡不够锐利。 较窄 比巴特沃兹更锐利（衰减更快）。 最窄 衰减最快，过渡最锐利。
阶数要求 (相同指标下) 最高 需要较高的阶数才能达到相同的滤波效果。 中等 介于两者之间。 最低 效率最高，实现相同性能所需阶数最少。
相位响应 非线性相位 非线性相位 非线性相位
核心评价 牺牲了衰减速度，换取了通带的平坦度。 牺牲了部分频带的平坦度，换取了更快的衰减。 牺牲了全频带的平坦度和相位特性，换取了最高效的衰减性能。

脉冲响应不变法 (Impulse Invariance)

这是最原始的思路：让数字系统的单位冲激响应 \(h[n]\) 刚好等于模拟系统 \(h_a(t)\) 的采样值。

  • 物理意义：\(h[n] = h_a(nT)\)。

  • 数学映射：\(s\) 平面到 \(z\) 平面的关系是 \(z = e^{sT}\)。

  • 结论：

    1. 稳定性：\(s\) 左半平面映射到 \(z\) 单位圆内。如果模拟滤波器稳定，数字的也稳定。
    2. 频率映射：是线性的，\(\Omega = \omega T\)。

  • 缺点——频谱混叠 (Aliasing)：

    • 因为 \(z = e^{sT}\) 是周期性映射，模拟域中高于采样频率一半（折叠频率）的所有信号都会叠回来。
    • 这种方法只能用于设计低通（Low-pass）或带通（Band-pass）滤波器。设计高通或带阻时，由于模拟滤波器在高频处不为 0，混叠会毁掉整个设计。

  • 步骤：

    核心思路：数字指标 \(\to\) 模拟指标 \(\to\) 模拟滤波器 \(H_a(s)\) \(\to\) 部分分式展开 \(\to\) 映射为 \(H(z)\)

    1. 确定数字滤波器指标

    2. 给定通带截止频率 \(\Omega_p\)、阻带截止频率 \(\Omega_s\)、通带最大衰减 \(\alpha_p\)、阻带最小衰减 \(\alpha_s\)。

    3. 模拟频率转换

    4. 利用线性关系 \(\Omega = \omega T\) 将数字频率转换为模拟频率。

    5. 设计模拟滤波器原型 \(H_a(s)\)

    6. 根据转换后的模拟指标 \((\Omega_p, \Omega_s, \alpha_p, \alpha_s)\)，设计巴特沃兹或切比雪夫滤波器，得到系统函数 \(H_a(s)\)。

    7. 部分分式展开 (关键步骤)

    8. 将 \(H_a(s)\) 展开为部分分式和的形式（只有展开成一阶极点形式，才能对应到 Z 变换）：

      \(H_a(s) = \sum_{k=1}^{N} \frac{A_k}{s - p_k}\)

      其中 \(p_k\) 是模拟滤波器的极点，\(A_k\) 是系数。

    9. 极点映射

    10. 利用变换对 \(\frac{1}{s - p_k} \longleftrightarrow \frac{1}{1 - e^{p_k T_d} z^{-1}}\)，将每一项映射到 Z 域。

    11. 得到数字滤波器系统函数：

      \(H(z) = \sum_{k=1}^{N} \frac{T_d A_k}{1 - e^{p_k T} z^{-1}}\)

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双线性变换法 (Bilinear Transformation)

为了解决混叠问题，科学家发明了这种“重塑”频率轴的方法。

  • 数学公式：\(s = \frac{2}{T} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\)。

  • 映射逻辑：它把 \(s\) 平面的虚轴（从 \(-\infty\) 到 \(+\infty\)）压缩映射到了 \(z\) 平面的单位圆（从 \(-\pi\) 到 \(+\pi\)）上。

  • 优点：

    • 无混叠：因为它是一一对应的映射，不存在重叠。
    • 全能：可以设计任何类型的滤波器（高通、带阻都行）。

  • 代价——频率畸变 (Frequency Warping)：

    • \(\omega\)和\(\Omega\)的映射关系是非线性的，\(\omega=\frac{2}{T_d}\tan(\frac{\Omega}{2})\)。虽然低频处很准，但高频处被严重压缩了。
    • 解决办法：在设计模拟滤波器之前，先进行“预畸变（Pre-warping）”，提前修正频率。

  • 步骤：

  • 核心思路：数字指标 \(\to\) 预畸变 \(\to\) 模拟指标 \(\to\) 模拟滤波器 \(H_a(s)\) \(\to\) 代数替换 \(\to\) \(H(z)\)

    1. 确定数字滤波器指标

    2. 给定 \(\Omega_p, \Omega_s, \alpha_p, \alpha_s\)。

    3. 频率预畸变 (Pre-warping)

    4. 由于频率映射是非线性的，必须先对数字截止频率进行预畸变，得到修正后的模拟频率 \(\omega\)：

      \(\omega = \frac{2}{T} \tan\left(\frac{\Omega}{2}\right),\Omega=\arctan (\frac{\omega T}{2})\)

    5. 设计模拟滤波器原型 \(H_a(s)\)

    6. 根据预畸变后的模拟指标 \((\Omega_p, \Omega_s, \alpha_p, \alpha_s)\)，设计模拟滤波器得到 \(H_a(s)\)。

    7. 代数替换 (S 域到 Z 域)

    8. 直接将 \(H_a(s)\) 中的 \(s\) 替换为双线性变换公式：

      \(s = \frac{2}{T} \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}\)

    9. 化简整理

    10. 将替换后的式子通分、整理，化简为标准的 \(H(z)\) 形式（分子分母为 \(z^{-1}\) 的多项式）。

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方法 脉冲响应不变法 (Impulse Invariance Method) 双线性变换法 (Bilinear Transformation Method)
变换原理 让数字滤波器的脉冲响应 \(h[n]\) 采样逼近模拟滤波器的冲激响应 \(h_a(t)\)。 利用非线性频率压缩，将整个模拟 \(s\) 平面 \(j\Omega\) 轴映射到数字 \(z\) 平面单位圆上。
映射关系 \(z = e^{sT}\) (多值映射，s平面条带 \(\to\) z平面) \(s = \frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\) (单值映射，s全平面 \(\to\) z平面)
频谱混叠 存在混叠 模拟信号必须是带限的，否则高频部分会折叠到低频，产生失真。 无混叠 将模拟频率的 \((-\infty, +\infty)\) 压缩映射到数字频率的 \((-\pi, \pi)\)。
频率关系 线性关系 \(\omega = \Omega T\) 保持了模拟频率和数字频率的线性比例。 非线性关系 (频率畸变) \(\Omega = \frac{2}{T}\tan(\frac{\omega}{2})\) 低频近似线性，高频严重压缩。
相位特性 较好保持 能较好地保留原模拟滤波器的相位线性特性（在无混叠区域）。 相位畸变 由于频率映射的非线性，原模拟滤波器的相位特性会发生改变，不再保持线性。
适用范围 仅限低通、带通 模拟滤波器的高频衰减必须足够快，不适用于高通、带阻滤波器。 通用 (低通、高通、带通、带阻) 适用于所有类型的滤波器设计。
主要优点 1. 时域特性好（脉冲响应完全模仿）。 2. 频率线性映射，无频率畸变。 1. 完全消除了频谱混叠。 2. 可设计任意类型的滤波器（包括高通/带阻）。
主要缺点 1. 存在频谱混叠，高频响应失真大。 2. 设计受限，只能设计低通的滤波器，不能设计高通和带阻滤波器。 1. 频率刻度发生非线性畸变 (Warping)。 2. 设计时必须先对边界频率进行“预畸变”校正。

3. FIR 滤波器设计

线性相位滤波器 (Linear Phase)

  • 如果一个滤波器系统是线性相位的，意味着它对所有频率成分产生的时间延迟（Time Delay）是恒定的一常数。波形整体延迟，波形保持不失真

  • 如果我们用非线性相位的滤波器，导致波形被“拉伸”或“挤压”，这种相位的变化叫作相位畸变。

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  • 数学条件： 单位脉冲响应 \(h[n]\) 必须具备对称性。
    • \(h[n] = h[N-1-n]\)（偶对称）
    • \(h[n] = -h[N-1-n]\)​（奇对称）

线性相位系统

\[ H_{id}(\Omega)=e^{-j\Omega \alpha},|\Omega|\le \pi \]

式中\(\alpha\)​为实数，系统称为理想延迟系统（ideal delay system）

结论：如果\(2\alpha\)为整数，即\(\alpha\)是整数或整数再加1/2，则单位脉冲响应是关于\(\alpha\)偶对称。\(h[2\alpha-n]=h[n]\)​

若\(h[n]\)关于\(2\alpha\)（整数）偶对称或奇对称，即 \(h[2\alpha-n] = ±h[n]\)，则\(h[n]\)必为线性相位系统。

当然，线性相位系统其\(h[n]\)并不一定是关于\(2\alpha\)（整数）偶对称或奇对称。

实际使用中，考虑到设计的方便将\(h[2\alpha-n] = ±h[n]\)​作为设计线性相位系统的条件

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窗函数设计法 (Window Method)

窗函数满足前面所述的对称条件。理想的滤波器（比如完美的矩形低通）在时域上是一个无限长的 sinc 函数。我们无法实现无限长的东西，所以必须“截断”。

对理想滤波器的脉冲响应\(h_d [n]\)（无限长，非因果序列），用窗函数截断，得到具有对称性的有限长因果序列\(h[n]\)

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带来的副作用： 当你用窗函数截断时，在频域会与sinc函数卷积，导致：

  1. 过渡带出现：时域中窗函数的下降线变成了斜坡。斜坡的宽度由窗函数的主瓣宽度决定。
  2. 纹波出现：在截断点附近会出现波纹（振荡）。纹波波动的大小由窗函数的旁瓣大小决定。

常见窗函数的权衡 (Trade-off)：

结论：主瓣越窄，过渡带越窄（性能越好）；旁瓣越低，阻带波纹越小（滤波越干净）。

窗函数 过渡带宽 最小阻带衰减 评价
矩形窗 \(1.8\pi/N\) -21 dB 主瓣最窄，但旁瓣极高，波动严重。
汉宁窗 \(6.2\pi/N\) -44 dB 性能均衡。
海明窗 \(6.6\pi/N\) -53 dB 工程最常用，旁瓣压制比汉宁更优。
布莱克曼窗 \(11\pi/N\) -74 dB 阻带极干净，但过渡带太宽。

对于 FIR：增加窗长 \(N\)​ 可以使过渡带变窄，但不能减小阻带的波动（波动大小只取决于窗的种类）。

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